Eclats de vers : Matemat : Géométrie
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Courbe
Une courbe sur \(\setR^n\) est de la forme :
\( \Lambda = \{ \lambda(s) : s \in [\alpha,\beta] \} \)
où \(\lambda : [\alpha,\beta] \mapsto E\) est une fonction continue et où \(\alpha,\beta \in \setR\) vérifient \(\alpha \le \beta\).
2. Segment
Les segments sont une généralisation des intervalles. Un segment de \(u \in E\) vers \(v \in E\) est un cas particulier de courbe où \(\lambda : [0,1] \subseteq \setR \mapsto E\) est une fonction linéaire définie par :
\( \lambda(s) = u + s \cdot (v - u) \)
pour tout \(s \in [0,1] \subseteq \setR\). On voit que \(\lambda(0) = u\) et que \(\lambda(1) = v\). On note aussi :
\( [u,v] = \lambda([0,1]) = \{ u + s \cdot (v - u) : s \in [0,1] \} \subseteq E \)
2.1. Alternative
On dispose aussi d'une définition alternative. On utilise :
\( L = \{ (s,t) \in \setR^2 : (s,t) \ge 0 \text{ et } s + t = 1 \} \)
et la fonction \(\sigma : L \mapsto E\) définie par :
\( \sigma(s,t) = s \cdot u + t \cdot v \)
On a alors \([u,v] = \sigma(L)\). On voit aussi que \(\sigma(1,0) = u\) et \(\sigma(0,1) = v\).
3. Enveloppe convexe
Soit \(A \subseteq E\) et la collection des segments reliant deux points quelconques de \(A\) :
\( \mathcal{S} = \{ [u,v] : u,v \in A \} \)
L'enveloppe convexe de \(A\) est l'union de tous ces segments :
\( \convexe(A) = \bigcup \mathcal{S} \)
Pour tout \(u,v \in A\) et \((s,t) \in \setR^2\) tels que \(s,t \ge 0\) et \(s + t = 1\), on a donc :
\( s \cdot u + t \cdot v \in \convexe(A) \)
3.1. Inclusion
Il suffit de considérer le choix \((s,t) = (1,0)\) pour voir que tout \(u \in A\) appartient à \(\convexe(A)\). On a donc \(A \subseteq \convexe(A)\).
3.2. Ensemble convexe
On dit qu'un ensemble \(C \subseteq E\) est convexe si \(\convexe(C) = C\).
4. Surface
Une surface de \(E\) est de la forme :
\( \Phi = \{ \varphi(s,t) : (s,t) \in [a,b] \times [c,d] \} \)
où \(\varphi : [a,b] \times [c,d] \mapsto E\) est une fonction continue et où \(a,b,c,d \in \setR\) vérifient \(a \le b\) et \(c \le d\).