Eclats de vers : Matemat : Intégrales et mesures
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Addition de mesure
Soit les mesures \(\gamma, \lambda\) et la mesure \(\mu\) définie par :
\[\mu = \gamma + \lambda\]
Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :
\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]
On a alors :
\begin{align} \int_A w(x) \ d\mu(x) &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) \) \( &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot (\gamma(A_i) + \lambda(A_i)) \) \( &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \gamma(A_i) + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \lambda(A_i) \) \( &= \int_A w(x) \ d\gamma(x) + \int_A w(x) \ d\lambda(x) \end{align}En passant au suprémum sur toutes les fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à une fonction positive intégrable, puis en utilisant la définition d'une fonction intégrable \(f\) on en déduit que :
\[\int_A f(x) \ d(\gamma + \lambda)(x) = \int_A f(x) \ d\gamma(x) + \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]
2. Mesure de Lebesgue
Soit \(A \subseteq \setR^n\) et \(\mu_L\) la mesure de Lebesgue. On note alors \(d\mu_L(x) = dx\) ou :
\[d\mu_L(x) = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\]
et :
\[\int_A f(x) \ dx = \int_A f(x) \ d\mu_L(x)\]
3. Intégrale de Stieltjes
Soit la fonction croissante \(\gamma : A \mapsto \setR\). L'intégrale de Stieltjes associée à \(\gamma\) se note :
\[\int_A f(x) \ d\gamma(x)\]
Elle se définit d'après la mesure de Stieltjes \(\mu_\gamma\) associée à \(\gamma\) :
\[\int_A f(x) \ d\gamma(x) = \int_A f(x) \ d\mu_\gamma(x)\]
3.1. Fonction à variation bornée
Nous allons étendre la définition à des fonctions non nécessairement croissantes. Soit une fonction \(g : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) et \(S[a,b]\) l'ensemble des suites réelles croissantes inclues dans \([a,b]\) :
\[S[a,b] = \Big\{ \{x_0, x_1, x_2, ..., x_n \} : a \le x_0 \le x_1 \le x_2 \le ... \le b, \ n \in \setN \Big\}\]
Nous supposons que la fonction \(g\) nous permet de définir les fonctions \(\sigma,\lambda\) associées par :
\[\sigma(x) = \sup \accolades{ \sum_{i = 0}^n \max\{g(x_{i + 1}) - g(x_i), 0\} : \{x_0, x_1, ..., x_n \} \in S[\alpha,x] }\]
et :
\[\lambda(x) = - \inf \accolades{ \sum_{i = 0}^n \min\{g(x_{i + 1}) - g(x_i), 0\} : \{x_0, x_1, ..., x_n \} \in S[\alpha,x] }\]
pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). Il est clair que les fonctions \(\sigma, \lambda\) sont croissantes. On peut donc définir l'intégrale de Stieltjes associée à \(g\) par :
\[\int_A f(x) \ dg(x) = \int_A f(x) \ d\sigma(x) - \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]
3.2. Positivité
L'intégrale de Stieltjes d'une fonction essentiellement positive n'est généralement pas positive.
4. Mesure pondérée
Soit une fonction essentiellement positive \(\varphi\) telle que la fonction \(\mu\) associée définie par :
\[\mu(A) = \int_A \varphi(x) \ dx\]
soit une mesure. Considérons une fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), avec :
\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]
où les \(A_i\) forment une partition de \(A\) et où les \(w_i \in \setR\). On a alors :
\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx\]
Par linéarité de l'intégrale, on voit aussi que :
\begin{align} \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx &= \sum_i w_i \cdot \int_A \varphi(x) \cdot \indicatrice_{A_i}(x) \ dx \) \( &= \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx \end{align}On en conclut que :
\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]
Comme \(\varphi\) est positive, on a l'équivalence entre \(w \essinferieur f\) et \(w \cdot \varphi \essinferieur f \cdot \varphi\). En passant au supremum, on obtient donc :
\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]
pour toute fonction intégrable \(f : A \to \setR\). On note symboliquement :
\[d\mu(x) = \varphi(x) \ dx\]
4.1. Problème inverse
Remarquons qu'on ne sait généralement pas faire correspondre une fonction \(\varphi\) à une mesure \(\mu\) donnée.
5. Mesure de Dirac
L'intégrale d'une fonction \(f : \setR \to \setR\) par rapport à une mesure de Dirac \(\mu_D^a\) est fort simple à calculer. En effet :
\[\int_A d\mu_D^a(x) = \mu_D^a(A) = \indicatrice_A(a)\]
par définition. Si \(a \notin A\), l'ensemble \(A\) est de mesure nulle et :
\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = 0\]
Considérons à présent le cas où \(a \in A\). L'ensemble \(A \setminus \{a\}\) étant disjoint de \(\{a\}\) et de mesure nulle :
\[\int_{A \setminus \{a\}} d\mu_D^a(x) = \indicatrice_{A \setminus \{a\}}(a) = 0\]
on a :
\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = \int_{\{a\}} f(x) \ d\mu_D^a(x)\]
La fonction \(f\) étant constante sur \(\{a\}\) et valant \(f(a)\), on a finalement :
\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_{\{a\}}(a) = f(a)\]
Dans le cas général, on a donc :
\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]
On note également :
\[\int_A f(x) \ \indicatrice(x - a) \ dx = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]
6. Pondérée - Dirac
Soit une mesure \(\mu\) définie par :
\[d\mu(x) = \left[ \varphi(x) + \sum_i \alpha_i \cdot \indicatrice(x - x_i) \right] \ dx\]
où les \(\alpha_i \in \setR\). Si les \(x_i\) appartiennent tous à \(A\), l'intégrale d'une fonction \(f\) par rapport à cette mesure s'écrit :
\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx + \sum_i \alpha_i \cdot f(x_i)\]