Eclats de vers : Matemat : Limites réelles
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:limitesReelles}
1. Opérations
Soit les fonction \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant :
\( F = \lim_{x \to a} f(x) \\ \)
\( G = \lim_{x \to a} g(x) \)
où \(F,G \in \setR\). Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Pour tout \(\gamma \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta(\gamma) \strictsuperieur 0\) tel que :
\( \distance(f(x),F) = \abs{f(x) - F} \le \gamma \)
\( \distance(g(x),G) = \abs{g(x) - G} \le \gamma \)
pour tout \(x \in \setR\) tel que \(\distance(x,a) = \abs{x - a} \le \delta(\gamma)\).
1.1. Addition
\[\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \abs{f(x) - F} + \abs{g(x) - G} = 2 \gamma\]
Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon / 2\) pour avoir \(\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(f + g\) est \(F + G\), c'est-à-dire :
\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + g(x)\big] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]
1.1.1. Fonction constante
Dans le cas particulier où une des deux fonctions est une constante \(G \in \setR\), soit :
\[g : x \mapsto G\]
pour tout \(x \in \setR\), on a :
\[\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} G = G\]
et :
\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + G\big] = \lim_{x \to a} f(x) + G\]
1.2. Opposé
On a simplement :
\[\abs{\big[-g(x)\big] - (-G)} = \abs{G - g(x)} = \abs{g(x) - G} \le \gamma\]
Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon\) pour avoir \(\abs{(-g(x)) - (-G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(-g\) est \(-G\), c'est-à-dire :
\[\lim_{x \to a} \big[-g(x)\big] = - \lim_{x \to a} g(x)\]
1.3. Soustraction
On a :
\begin{align} \lim_{x \to a} \big[f(x) - g(x)\big] &= \lim_{x \to a} \big[f(x) + \big(-g(x)\big)\big] \\ &= \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \big(-g(x)\big) \\ &= \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \end{align}1.4. Multiplication
On voit que :
\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &= \abs{f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot G + f(x) \cdot G - F \cdot G} \\ &= \abs{f(x) \cdot (g(x) - G) + (f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x) \cdot (g(x) - G)} + \abs{(f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \abs{g(x) - G} + \abs{(f(x) - F)} \cdot \abs{G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \end{align}Comme :
\[\abs{f(x)} = \abs{f(x) - F + F} \le \abs{f(x) - F} + F \le \gamma + \abs{F}\]
notre borne peut se réécrire :
\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &\le (\gamma + \abs{F}) \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \\ &\le (\gamma + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \end{align}Si on choisit \(\gamma = \min\{ 1 , \epsilon / (1 + \abs{F} + \abs{G}) \}\), on a \(\gamma \le 1\) et :
\[\abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} \le (1 + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \le \epsilon\]
On en déduit que la limite de \(f \cdot g\) est \(F \cdot G\), c'est-à-dire :
\[\lim_{x \to a} \big[f(x) \cdot g(x)\big] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]\]
1.5. Inverse multiplicatif
Supposons que \(G \ne 0\). On a :
\begin{align} \abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} &= \abs{\frac{G - g(x)}{g(x) \cdot \abs{G}}} \\ &= \frac{ \abs{G - g(x)} }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ &= \frac{ \gamma }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \end{align}On voit aussi que :
\begin{align} \abs{g(x)} = \abs{g(x) - G + G} &= \abs{G - (G - g(x))} \\ &\ge \abs{G} - \abs{G - g(x)} \\ &\ge \abs{G} - \gamma \end{align}Donc, si \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on a :
\[\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} }\]
Nous allons voir qu'il est possible de majorer cette expression par \(\epsilon\). En effet, la condition :
\[\frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} } \le \epsilon\]
est équivalente à :
\[\gamma \le \epsilon \cdot (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} = G^2 \cdot \epsilon - \epsilon \cdot \abs{G} \cdot \gamma\]
ce qui revient à dire que :
\[(1 + \epsilon \cdot \abs{G}) \cdot \gamma \le G^2 \cdot \epsilon\]
et enfin :
\[0 \strictinferieur \gamma \le \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}}\]
En imposant également \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on obtient la condition suffisante :
\[0 \strictinferieur \gamma \strictinferieur \min\left\{ \abs{G} , \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}} \right\}\]
On a alors \(\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \epsilon\). On en conclut que la limite de \(1/g\) est \(1/G\), c'est-à-dire :
\[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to a} g(x)}\]
1.6. Fraction
Toujours sous l'hypothèse que \(G \ne 0\), on a :
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] \cdot \left[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\]
2. Fonction croissante
Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) croissante et majorée par un certain \(M \in \setR\) :
\[F = \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \} \le M\]
Comme l'ensemble de réels \(F\) est non vide et majoré, on en conclut qu'il admet un supremum inclus dans l'adhérence :
\[S = \sup F \in \adh F\]
Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(S,F) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :
\[\distance(S,f(\alpha)) = \abs{S - f(\alpha)} \le \epsilon\]
Comme \(S \ge F\), on a \(\abs{S - f(\alpha)} = S - f(\alpha) \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(f\) étant croissante, on a \(f(\beta) \ge f(\alpha)\), et donc :
\[\distance(S,f(\beta)) = S - f(\beta) \le S - f(\alpha) \le \epsilon\]
On en déduit que \(f(x)\) converge vers le supremum \(S\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \}\]
3. Fonction décroissante
Symétriquement, si \(g : \setR \mapsto \setR\) est une fonction décroissante et minorée par un certain \(L \in \setR\), l'ensemble non vide :
\[G = \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \} \ge L\]
admet un infimum inclut dans l'adhérence :
\[I = \inf G \in \adh G\]
Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(I,G) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :
\[\distance(I,g(\alpha)) = \abs{I - g(\alpha)} \le \epsilon\]
Comme \(I \le F\), on a \(\abs{I - g(\alpha)} = g(\alpha) - I \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(g\) étant décroissante, on a \(g(\beta) \le g(\alpha)\), et donc :
\[\distance(I,g(\beta)) = g(\beta) - I \le g(\alpha) - I \le \epsilon\]
On en déduit que \(g(x)\) converge vers le supremum \(I\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :
\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \inf \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \}\]
4. Limites supremum et infimum
Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. On définit la famille \(\{F(x) : x \in \setR \}\) d'ensembles non vides, majorés et minorés par :
\[F(x) = \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
4.1. Limite supremum
Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\sup F(x) \le \sup F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(d : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[d(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
pour tout \(x \in \setR\) est décroissante et minorée. Elle converge donc vers son infimum :
\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \inf_{x \in \setR} d(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
D'un autre coté, la définition de \(d\) implique que :
\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \lim_{x \to +\infty} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]
On en conclut que :
\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
4.2. Limite infimum
Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\inf F(x) \ge \inf F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(c : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[c(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
pour tout \(x \in \setR\) est croissante et majorée. Elle converge donc vers son supremum :
\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \sup_{x \in \setR} c(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
D'un autre coté, la définition de \(c\) implique que :
\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \lim_{x \to +\infty} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]
On en conclut que :
\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
5. Egalité des limites sup et inf
Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. Posons :
\( S(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
\( I(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
et choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).
- Considérons le cas particulier où les limites sup et inf sont identiques :
\[L = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]
pour tout \(x \in \setR\). Choisissons un \(\sigma\) tel que \(\abs{S(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \sigma\) et un \(\tau\) tel que \(\abs{I(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \tau\). Posant \(M = \max\{\sigma,\tau\}\), il vient :
\( f(z) \le S(M) \le L + \epsilon \)
\( f(z) \ge I(M) \ge L - \epsilon \)
pour tout réel \(z\) vérifiant \(z \ge M\). On a alors :
\[\abs{f(z) - L} \le \epsilon\]
On en conclut que la limite de \(f\) à l'infini existe et que :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]
- Inversément, supposons la limite de \(f\) à l'infini existe :
\[L = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]
Soit un réel \(M\) tel que :
\[\abs{f(x) - L} \le \epsilon\]
pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M\). On a alors :
\[L - \epsilon \le f(x) \le L + \epsilon\]
On en déduit que :
\( S(x) \le L + \epsilon \)
\( I(x) \ge L - \epsilon \)
Le supremum étant supérieur à l'infimum, on a finalement :
\[L - \epsilon \le I(x) \le S(x) \le L + \epsilon\]
et donc :
\[\{ \abs{S(x) - L} , \abs{I(x) - L} \} \le \epsilon\]
On en conclut que \(S\) et \(I\) convergent vers \(L\), c'est-à-dire :
\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]
6. Ordre et limite
Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant \(f \le g\).
6.1. A l'infini
Supposons que les limites à l'infini existent :
\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \\ \)
\( \lim_{x \to +\infty} g(x) = c \)
Supposons que \(b \strictsuperieur c\) et posons \(\epsilon = (b - c)/4 \strictsuperieur 0\). On a alors :
\[b = c + 4 \epsilon\]
On peut trouver un réel \(F\) tel que :
\[\abs{f(x) - b} \le \epsilon\]
pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge F\). De même, on peut trouver un réel \(G\) tel que :
\[\abs{g(x) - c} \le \epsilon\]
pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge G\). Donc, pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M = \max\{F,G\}\), on a :
\[\{ \ \abs{f(x) - b} , \ \abs{g(x) - c} \ \} \le \epsilon\]
On voit que :
\[b - \epsilon = c + 3 \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon\]
On en déduit que :
\[f(x) \ge b - \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon \ge g(x)\]
ce qui contredit \(f \le g\). Notre hypothèse est donc fausse et \(b \le c\), c'est-à-dire :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) \le \lim_{x \to +\infty} g(x)\]
6.2. Vers un réel
On montre par un raisonnement analogue que, si les limites de \(f,g\) en \(a\) existent, on a :
\[\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)\]
6.3. Supremum et infimum
Pour tout \(x \in \setR\), on a :
\[\lambda(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \le \sigma(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]
On en conclut que \(\lambda \le \sigma\). Leurs limites à l'infini respectent donc le même ordre. Mais comme ces limites correspondent aux limites infimum et supremum de \(f\), on a :
\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]
7. Ordre et supremum-infimum
Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(f \le g\). Posons :
\[\Theta(x) = \{ z \in \setR : z \ge x \}\]
pour tout \(x \in \setR\).
7.1. Supremum
Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :
\( \varphi(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
\( \gamma(x) = \sup \{ g(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :
\[\varphi(x) = \sup f(\Theta(x)) \le \sup g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]
ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :
\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]
c'est-à-dire :
\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]
7.2. Infimum
Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :
\( \varphi(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
\( \gamma(x) = \inf \{ g(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)
pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :
\[\varphi(x) = \inf f(\Theta(x)) \le \inf g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]
ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :
\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]
c'est-à-dire :
\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x)\]
7.3. Egalité
Supposons que :
\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]
On a alors :
\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]
Les limites sup et inf de \(f\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]
On a aussi :
\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]
Les limites sup et inf de \(g\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :
\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \liminf_{x \to +\infty} g(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]
On en conclut que les limites de \(f\) et \(g\) existent et que :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x)\]
8. Cadre
Soit les fonctions \(f,S,I : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(I \le f \le S\). Supposons que :
\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]
On a alors :
\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) \le \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} S(x) = L\]
On en déduit que :
\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]
La limite de \(f\) existe donc et :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]