Eclats de vers : Matemat : Limites
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:limites}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances
2. Définition
Soit les ensembles \(E,F\) munis respectivement des distances \(\distance_E\) et \(\distance_F\), un sous-ensemble \(D \subseteq E\) et la fonction \(f : D \mapsto F\). Comme la distance utilisée est sans ambiguité d'après la nature des objets dont elle mesure l'éloignement :
\( \distance(x,y) = \distance_E(x,y) \Leftrightarrow x,y \in E \)
\( \distance(x,y) = \distance_F(x,y) \Leftrightarrow x,y \in F \)
on note dans la suite de ce chapitre \(\distance\) à la place de \(\distance_E\) et de \(\distance_F\).
Plaçons nous dans \(A \subseteq D\). Nous nous intéressons au cas où \(f(x)\) se rapproche de plus en plus d'un certain \(L \in F\) lorsque \(x \in A\) se rapproche suffisamment d'un certain \(a \in E\). Pour toute précision \(\epsilon \in \corps\), \(\epsilon \strictsuperieur 0\) aussi petite que l'on veut, on doit alors pouvoir trouver un niveau de proximité \(\delta(\epsilon) \in \corps\), \(\delta(\epsilon) \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]
pour tout les \(x \in A\) vérifiant :
\[\distance(x,a) \le \delta(\epsilon)\]
Si cette condition est remplie, on dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \(a\), et on note :
\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) = L\]
2.1. Notations
Lorsque l'ensemble \(A\) est évident d'après le contexte, on note simplement :
\[\lim_{ x \to a } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x)\]
Au lieu de noter l'ensemble, on peut citer les conditions qui le définissent. Ainsi par exemple :
\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \ne a } } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in X(a) } } f(x)\]
où :
\[X(a) = D \setminus \{ a \}\]
Autre application :
\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \le a } } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in I(a) } } f(x)\]
où :
\[I(a) = \{ x \in D : x \le a \}\]
2.2. Remarque
Rien n'impose que \(a\) appartienne à \(A\). L'existence de la limite de \(f\) en \(a\) n'implique donc pas que la fonction \(f\) soit définie en \(a\).
2.3. Unicité
Supposons que \(b\) et \(c\) soient deux limites de \(f\) en \(a\). Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut alors trouver un \(\alpha \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x),b) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,a) \le \alpha\) et un \(\beta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x),c) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,a) \le \beta\). Posons \(\delta = \min\{\alpha,\beta\}\). Si \(x\) vérifie \(\distance(x,a) \le \delta\), on a :
\[\{ \ \distance(f(x),b) , \ \distance(f(x),c) \ \} \le \frac{\epsilon}{2}\]
et :
\[\distance(b,c) \le \distance(b,f(x)) + \distance(f(x),c) \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]
Comme ce doit être vrai pour tout \(\epsilon\) strictement positif, on en conclut que \(\distance(b,c) = 0\), c'est-à-dire \(b = c\). La limite est donc unique.
2.4. Inclusion des boules
Soit :
\( B_1(\delta) = \boule(a,\delta) \cap A \)
\( B_2(\epsilon) = \boule(f(a),\epsilon) \)
La définition de la limite revient à exiger que, pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que tout élément de \(B_1(\delta)\) auquel on applique la fonction \(f\) se retrouve dans \(B_2(\epsilon)\). Autrement dit, \(f(B_1(\delta)) \subseteq B_2(\epsilon)\).
2.5. Limite de la distance
Si \(L\) est la limite de \(f\) en \(a\), la distance doit converger vers zéro par définition :
\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } \distance(f(x),L) = 0\]
3. Chemin
Supposons qu'il existe des sous-ensembles \(A,B \subseteq D\) tels que :
\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) \ne \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in B } } f(x)\]
On dit alors que la limite dépend du chemin parcouru.
4. Limites à l'infini
Si \(E\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite à l'infini. Soit une fonction \(f : E \mapsto F\) et \(L \in F\). Si, pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne inférieure \(I(\epsilon) \in E\) telle que :
\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini positif et on écrit :
\[\lim_{ x \to +\infty } f(x) = L\]
Symétriquement, si pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne supérieure \(S(\epsilon) \in E\) telle que :
\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini négatif et on écrit :
\[\lim_{ x \to -\infty } f(x) = L\]
4.1. Notation
On a également la notation alternative :
\[\lim_{ x \to \infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } f(x)\]
ainsi que :
\begin{align} f(+\infty) &= \lim_{ x \to +\infty } f(x) \\ f(-\infty) &= \lim_{ x \to -\infty } f(x) \end{align}5. Limite supremum et infimum
5.1. Infini positif
Il arrive que la limite à l'infini positif d'une fonction \(f : E \mapsto F\) n'existe pas mais que la limite de la fonction \(g : E \mapsto F\), que l'on suppose correctement définie pour tout \(x \in E\) par :
\[g(x) = \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]
existe. On note alors :
\[\liminf_{ x \to +\infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]
On définit pareillement la limite du supremum :
\[\limsup_{ x \to +\infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } \sup \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]
5.2. Infini négatif
On définit également :
\( \limsup_{ x \to -\infty } f(x) = \lim_{ x \to -\infty } \sup \{ f(y) : y \in E, \ y \le x \} \\ \)
\( \liminf_{ x \to -\infty } f(x) = \lim_{ x \to -\infty } \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \le x \} \)
6. Limites infinies
Si \(F\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite infinie.
6.1. Positive
Si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une proximité \(\delta(G) > 0\) vérifiant :
\[f(x) \ge G\]
pour tout les \(x \in A\) assez proche de \(a\) :
\[\distance(x,a) \le \delta(G)\]
on dit alors que \(f\) tend vers l'infini positif en \(a\) et on écrit :
\[\lim_{ x \to a } f(x) = +\infty\]
6.2. Négative
Si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une proximité \(\delta(P) > 0\) vérifiant :
\[f(x) \le P\]
pour tout les \(x \in A\) assez proche de \(a\) :
\[\distance(x,a) \le \delta(P)\]
on dit alors que \(f\) tend vers l'infini négatif en \(a\) et on écrit :
\[\lim_{ x \to a } f(x) = -\infty\]
6.3. Notation
On a les notations alternatives :
\( f(a) = +\infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{ x \to a } f(x) = +\infty \)
\( f(a) = -\infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{ x \to a } f(x) = -\infty \)
7. Limite infinie à l'infini
On suppose que \(E\) et \(F\) sont ordonnés. On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini positif et on le note :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]
si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :
\[f(x) \ge G\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini négatif et on le note :
\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\]
si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :
\[f(x) \le P\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini positif et on le note :
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]
si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :
\[f(x) \ge G\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini négatif et on le note :
\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]
si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :
\[f(x) \le P\]
pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\).