Eclats de vers : Matemat : Matrices

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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)

\label{chap:matrices}

1. Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
  • Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

2. Définition

Les matrices sont des tableaux de réels, de complexes, ou de composantes d'une autre nature appartenant à un corps quelconque. Voici un exemple d'une matrice à \(m\) lignes et \(n\) colonnes :

\( A = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} \)

où les \(a_{ij}\) appartiennent à un corps \(\corps\). On a également des versions simplifiées de cette notation :

\[A = ( a_{ij} )_{i,j} = [ a_{ij} ]_{i,j}\]

Par convention, le numéro de ligne passe avant le numéro de colonne à l'extérieur de la parenthèse (ou du crochet).

On note \(\matrice(\corps,m,n)\) l'ensemble des matrices à \(m\) lignes et \(n\) colonnes. On dit d'une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) qu'elle est de taille \((m,n)\).

3. Composantes

Soit \(A = (a_{ij})_{i,j}\). La fonction \(\composante_{ij}\) donne la composante située à la \(i^{ème}\) ligne et à la \(j^{ème}\) colonne :

\[a_{ij} = \composante_{ij} A\]

4. Blocs

Soit \(A = (a_{ij})_{i,j}\). La fonction \(\bloc_{ijkl}\) donne la sous-matrice située entre la \(i^{ème}\) et la \(j^{ème}\) ligne, ainsi qu'entre la \(k^{ième}\) et la \(l^{ième}\) colonne :

\( \bloc_{ijkl} A = \begin{Matrix}{cccc} a_{ik} & a_{i,k+1} & \ldots & a_{il} \\ a_{i+1,k} & a_{i+1,k+1} & \ldots & a_{i+1,l} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{jk} & a_{j,k+1} & \ldots & a_{jl} \end{Matrix} \)

On appelle bloc une telle sous-matrice.

5. Partitionnement en blocs

Il est parfois très utile de partitionner une matrice en blocs, ou de former une matrice plus grande à partir de matrices de tailles plus petites. On note alors :

\begin{eqnarray*} A &=& \begin{Matrix}{cc} B & C \\ D & E \end{Matrix} \\ &=& \begin{Matrix}{cccccc} b_{11} & \ldots & b_{1n} & c_{11} & \ldots & c_{1p} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & \ldots & b_{mn} & c_{m1} & \ldots & c_{mp} \\ d_{11} & \ldots & d_{1n} & e_{11} & \ldots & e_{1p} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ d_{r1} & \ldots & d_{rn} & e_{r1} & \ldots & e_{rp} \end{Matrix} \end{eqnarray*}

où les \(b_{ij},c_{ij},d_{ij},e_{ij}\) sont respectivement les composantes des matrices \(B,C,D,E\). Ces matrices doivent évidemment être de tailles compatibles (nombres de lignes identiques pour \(B\) et \(C\), ainsi que pour \(D\) et \(E\) ; nombres de colonnes identiques pour \(B\) et \(D\), ainsi que pour \(C\) et \(E\)).

6. Formes lignes et colonnes

On peut exprimer une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) sous la forme de lignes superposées. Soit :

\( A =

\begin{Matrix}{c} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_m \end{Matrix}

\)

où les \(l_i \in \matrice(\corps,1,n)\) sont les lignes de \(A\). On note :

\[\ligne_i A = l_i\]

On peut aussi l'exprimer sous la forme de colonnes juxtaposées. Soit :

\[A = [c_1 \ c_2 \ldots \ c_n]\]

où les \(c_i \in \matrice(\corps,m,1)\) sont les colonnes de \(A\). On note :

\[\colonne_i A = c_i\]

7. Transposée

Transposer une matrice \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\corps,m,n)\) consiste à agencer ses lignes en colonnes et vice-versa :

\( A^T = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} = (a_{ji})_{i,j} \)

On voit que la transposée \(A^T \in \matrice(\corps,n,m)\).

On a clairement :

\[\big( A^T \big)^T = A\]

8. Vecteurs lignes et colonnes

On peut considérer un vecteur ligne comme une matrice ne possédant qu'une seule ligne. Un vecteur ligne est donc de taille générique \((1,n)\).

De même, on peut considérer un vecteur colonne omme une matrice ne possédant qu'une seule colonne. Un vecteur colonne est donc de taille générique \((m,1)\).

Les vecteurs colonne sont notés :

\[x = (x_i)_i\]

On a aussi :

\[x_i = \composante_i x\]

8.1. Transposée

Soit le $n$-tuple \(x \in \corps^n\) représenté par le vecteur ligne :

\[l = [x_1 \ x_2 \ \ldots \ x_n]\]

et le vecteur colonne :

\[ c = \begin{Matrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{Matrix} \]

On a clairement :

\[ \begin{Matrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{Matrix}^T = [x_1 \ x_2 \ \ldots \ x_n] \]

et :

\[ [x_1 \ x_2 \ \ldots \ x_n]^T = \begin{Matrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{Matrix} \]

autrement dit, le vecteur ligne est la transposée du vecteur colonne :

\[ l = c^T \]

et vice versa :

\[ c = l^T \]

8.2. Équivalence avec \(\corps^n\)

A partir d'un $n$-tuple \((x_1,x_2,...,x_n) \in \corps^n\), on peut former un vecteur ligne \(l \in \matrice(\corps,1,n)\) et un vecteur colonne \(c \in \matrice(\corps,n,1)\). Les réciproques étant également vraies, on a les équivalences :

\(\matrice(\corps,1,n) \equiv \matrice(\corps,n,1) \equiv \corps^n\)

9. Carrées et rectangulaires

Les matrices \(A \in \matrice(\corps,n,n)\) ayant même nombre de colonnes et de lignes sont dites « carrées ». Les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) avec \(m \ne n\) sont dites « rectangulaires ». Lorsque \(m \strictinferieur n\), on dit que la matrice est « longue ». Si \(m \strictsuperieur n\), on dit que la matrice est « haute ».

10. Matrices diagonales

Une matrice diagonale contient des composantes nulles partout, à l'exception de la diagonale où aucune contrainte n'est fixée. On peut représenter une matrice diagonale \(D \in \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[D = ( d_i \cdot \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

On peut aussi former une matrice diagonale de taille \((m,n)\) à partir d'un vecteur \(d = (d_i)_i\) de taille \((p,1)\), où \(p \le \min \{ m , n \}\). On le note :

\[D = \diagonale_{m,n}(d) = \diagonale_{m,n}(d_1,...,d_p)\]

où :

\[ \composante_{ij} \diagonale_{m,n}(d_1,...,d_p) = \begin{cases} d_i & \text{ si } i = j \in \{1,2,...,p\} \\ 0 & \text{ sinon} \end{cases} \]

10.1. Carrée

Dans le cas particulier où \(m = n\), on note aussi :

\[\diagonale_n(d) = \diagonale_{n,n}(d)\]

11. Matrices triangulaires

Les composantes des matrices triangulaires supérieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \le j\). Elles peuvent se représenter par :

\[T = (t_{ij} \cdot \tau^+_{ij})_{i,j}\]

où :

\[ \tau^+_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{ si } i \le j \\ 0 & \mbox{ si } i \strictsuperieur j \end{cases} \]

Les composantes des matrices triangulaires inférieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessous de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \ge j\). Elles peuvent se représenter par :

\[T = (t_{ij} \cdot \tau^-_{ij})_{i,j}\]

où :

\[ \tau^-_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{ si } i \ge j \\ 0 & \mbox{ si } i \strictinferieur j \end{cases} \]

12. Egalité

Il est clair que deux matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

\( A = ( a_{ij} )_{i,j} \)

\( B = ( b_{ij} )_{i,j} \)

sont égales (\(A = B\)) si tous leurs éléments le sont :

\[a_{ij} = b_{ij}\]

pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).

13. Ordre partiel

Soit les matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

\( A = ( a_{ij} )_{i,j} \)

\( B = ( b_{ij} )_{i,j} \)

On dit que \(A\) est inférieure à \(B\), et on le note \(A \le B\), si :

\[a_{ij} \le b_{ij}\]

pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).

14. Addition et soustraction

Soit les matrices de tailles identiques \(A, B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

\( A = (a_{ij})_{i,j} \)

\( B = (b_{ij})_{i,j} \)

L'addition et la soustraction des matrices sont simplement définies par l'addition et la soustraction des composantes :

\( A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{i,j} \)

\( A - B = (a_{ij} - b_{ij})_{i,j} \)

On a donc clairement :

\[A + B = B + A\]

14.1. Neutre

La matrice nulle \(0\) est le neutre pour cette opération :

\[A + 0 = A\]

On en déduit que tous ses éléments doivent être nuls :

\[0 = ( 0 )_{i,j}\]

On note \(0_{m,n}\) au lieu de \(0\) lorsqu'on veut préciser que \(0\) est de taille \((m,n)\).

14.2. Opposé

L'opposé de \(A\), noté \(-A\), est tel que :

\[A + (-A) = 0\]

On a donc clairement :

\[-A = (-a_{ij})_{i,j}\]

15. Multiplication mixte

On définit la multiplication mixte \(\cdot : \corps \times \matrice(\corps,m,n) \to \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[\beta \cdot A = (\beta \cdot a_{ij})_{i,j}\]

où \(\beta \in \corps\) et \(A \in \matrice(\corps,m,n)\).

Choissons également \(\gamma \in \corps\). On note comme d'habitude :

\( A \cdot \beta = \beta \cdot A \)

\( \gamma \cdot \beta \cdot A = (\gamma \cdot \beta) \cdot A \)

\( \beta A = \beta \cdot A \)

16. Conjuguée

La conjuguée d'une matrice \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\setC,m,n)\) est définie par la conjuguée des composantes :

\[\conjugue A = \bar{A} = ( \bar{a}_{ij} )_{i,j} = ( \conjugue a_{ij} )_{i,j}\]

Auteur: chimay

Created: 2025-10-21 mar 15:52

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