Eclats de vers : Matemat : Mesures
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:mesure}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
- Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
- Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
2. Introduction
L'objectif des mesures est de « mesurer » des ensembles, ou plutôt des sous-ensembles d'un ensemble donné. Soit l'ensemble \(\Omega\) et une tribu de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). Une mesure sur \(\mathcal{T}\) est une fonction \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) associant une valeur réelle à chaque ensemble de la tribu. On demande que cette mesure soit positive :
\[\mu(A) \ge 0\]
pour tout \(A \in \mathcal{T}\). Il semble également logique que la mesure d'un ensemble vide soit nulle :
\[\mu(\emptyset) = 0\]
Pour toute suite discrète (finie ou infinie) \(\{ A_1,A_2,... \} \subseteq \mathcal{T}\) d'ensembles disjoints deux à deux, on a :
\[A_i \cap A_j = \emptyset\]
pour tout \((i,j)\) tels que \(i \ne j\). On exige dans ce cas que la mesure vérifie la propriété d'additivité :
\[\mu\left( \bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i)\]
2.1. Inclusion
Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\). Comme \(C = B \setminus A\) et \(A\) vérifient \(C \cup A = B\) et \(C \cap A = \emptyset\), on a :
\[\mu(B) = \mu(C) + \mu(A) \ge \mu(A)\]
La mesure d'un ensemble « plus petit » au sens de l'inclusion est donc plus petite :
\[\mu(A) \le \mu(B)\]
2.2. Union
Soit \(A,B \in \mathcal{T}\). Comme \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\) et \((A \setminus B) \cap B = \emptyset\), on a :
\[\mu(A \cup B) = \mu(A \setminus B) + \mu(B)\]
Comme \(A \setminus B \subseteq A\), on a aussi \(\mu(A \setminus B) \le \mu(A)\). On en déduit que :
\[\mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B)\]
On peut en conclure par récurrence que :
\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^n A_i \right) \le \sum_{i = 0}^n \mu(A_i)\]
Puis, par passage à la limite :
\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^{+\infty} A_i \right) \le \sum_{i = 0}^{+\infty} \mu(A_i)\]
2.3. Appellation
On dit qu'un ensemble \(A\) est mesurable (pour \(\mu\)) si \(A \in \mathcal{T}\). Dans la suite, nous considérons une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et un ensemble mesurable \(A \in \mathcal{T}\).
3. Lebesgue
La mesure de Lebesgue \(\mu_L\) est définie sur la tribu \(\mathcal{T}\) engendrée par les ensembles ouverts de \(\setR\). Elle exprime simplement la longueur d'un intervalle. Pour tout :
\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]
on a simplement :
\[\mu_L(I) = b - a\]
Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :
\[\mu_I(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]
et :
\[\mu^S(A) = \sup \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ \bigcup_{n \in N} I_n \subseteq A }\]
Si :
\[\mu_I(A) = \mu^S(A)\]
on dit que l'ensemble \(A\) est mesurable au sens de Lebesgue et on définit :
\[\mu_L(A) = \mu_I(A) = \mu^S(A)\]
3.1. Mesure nulle
Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :
\[\mu_L(A) = 0\]
on définit :
\[\mu_L(N) = 0\]
3.2. Singleton
On voit que les ensembles de la forme \(\{a\} = [a,a]\) sont de mesure nulle :
\[\mu_L(\{a\}) = a - a = 0\]
On en conclut que pour toute suite discrète de réels $a1,a2,…$, on a :
\[\mu_L(\{a_1,a_2,...\}) = \sum_i \mu_L(\{a_i\}) = 0\]
On a aussi :
\begin{align} b - a = \mu_L([a,b]) &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + \mu_L(\{a_1,a_2,...\}) \) \( &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + 0 \end{align}et donc :
\[\mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) = b - a\]
4. Mesure de Stieltjes
On associe à toute fonction croissante \(g : \setR \mapsto \setR\) une mesure de Stieltjes \(\mu_g\). Pour tout :
\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]
on définit :
\[\mu_g(I) = g(b) - g(a)\]
Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :
\[\mu_g(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]
4.1. Mesure nulle
Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :
\[\mu_g(A) = 0\]
on définit :
\[\mu_g(N) = 0\]
5. Dirac
La mesure de Dirac \(\mu_D^a\) en \(a\) est définie sur \(\sousens(\Omega)\). Il s'agit d'une mesure permettant de détecter si un \(A \subseteq \Omega\) donné contient \(a\). Elle est donc basée sur les fonctions indicatrices :
\( μDa(A) = \indicatriceA(a) =
\begin{cases} 1 & \mbox{ si } a \in A \) \( 0 & \mbox{ si } a \notin A \end{cases}\)
6. Mesure produit
Soit les tribus \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) et la tribu produit :
\[\mathcal{P} = \{ A \times B : A \in \mathcal{T}_1, \ B \in \mathcal{T}_2 \}\]
A partir de mesures \(\mu : \mathcal{T}_1 \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{T}_2 \mapsto \setR\), on peut construire une mesure produit \(\mu \otimes \nu : \mathcal{P} \mapsto \setR\) par :
\[(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B)\]
6.1. Dimension \(n\)
On généralise la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\) par :
\[\mu_L( \intervalleouvert{a_1}{b_1} \times \intervalleouvert{a_2}{b_2} ... \times \intervalleouvert{a_n}{b_n}) = \prod_{i = 1}^n (b_i - a_i)\]
et l'extension à la tribu engendrée par les ouverts de \(\setR^n\) au moyen des supremum et infimum.
7. Fonction mesurable
On dit qu'une fonction \(f : A \mapsto \setR\) est mesurable (au sens de la tribu \(\mathcal{T}\)) si la relation \(f^{-1}\) vérifie \(f^{-1}(]a,+\infty[) \in \mathcal{T}\) et \(f^{-1}(]-\infty,a[) \in \mathcal{T}\) pour tout \(a \in \setR\). On a donc :
\( \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)
7.1. Corollaires
On a :
\( \{ x \in A : f(x) \ge a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : f(x) \le a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)
et :
\[\{ x \in A : f(x) = a \} = \{ x \in A : f(x) \ge a \} \cap \{ x \in A : f(x) \le a \} \in \mathcal{T}\]
Les mesures de tous ces ensembles sont donc bien définies pour tout \(a \in \setR\).
8. Opposé d'une fonction mesurable
Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On a :
\( \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur -a \} \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : -f(x) \strictinferieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur -a \} \in \mathcal{T} \)
On en déduit que la fonction opposée \(-f\) est mesurable.
9. Fonctions extrema
Soit la suite \(\{ f_n : n \in \setN \}\) de fonctions mesurables. Posons :
\( S = \sup \{ f_n : n \in \setN \} \)
\( I = \inf \{ f_n : n \in \setN \} \)
On a :
\( \{ x \in A : S(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : S(x) \strictinferieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)
On en conclut que \(\sup_n f_n\) est mesurable. Symétriquement, on a :
\( \{ x \in A : I(x) \strictsuperieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : I(x) \strictinferieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)
On en conclut que \(\inf_n f_n\) est mesurable.