Eclats de vers : Matemat : Ordres stricts
Table des matières
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\label{chap:ordreStrict}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
2. Définition
Un ordre strict sur un ensemble \(\Omega\) est une relation permettant de déterminer si un élément de \(\Omega\) est « strictement plus petit » qu'un autre. La différence fondamentale avec l'ordre large étant que les deux éléments doivent être distincts.
Soit \(\strictinferieur\) un ordre strict sur l'ensemble \(\Omega\) et \(x,y,z \in \Omega\). Comme \(x\) ne peut pas être distinct de lui-même, {\em on ne peut pas avoir} \(x \strictinferieur x\). La relation \(x \strictinferieur y\) implique donc que \(x \ne y\).
La seule solution pour avoir simultanément $x \strictinferieur y $ et \(y \strictinferieur x\) serait que \(x = y\) comme dans le cas de l'ordre large. Ce n'est pas possible par définition. Les relations \(x \strictinferieur y\) et \(z \strictinferieur x\) impliquent donc que \(y \ne z\). Par contre la propriété :
\( x \strictinferieur y, \quad y \strictinferieur z \quad \Rightarrow \quad x \strictinferieur z \)
est analogue à celle de l'ordre large.
2.1. Multiple
La notation \(x \strictinferieur y \strictinferieur z\) signifie que \(x \strictinferieur y\) et que \(y \strictinferieur z\).
3. Plus grand
Soit \(x, y \in \Omega\). On dit que \(x\) est strictement plus grand que \(y\), et on le note :
\[x \strictsuperieur y\]
si et seulement si :
\[y \strictinferieur x\]
4. Dérivé du large
On peut définir un ordre strict à partir d'un ordre large en disant que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x \le y\) et \(x \ne y\).
5. Complémentarité
Supposons que l'ordre \(\le\) soit total. Si \(x,y\) ne vérifient pas \(x \le y\), on doit forcément avoir \(y \le x\). Si on avait \(x = y\), on aurait aussi \(x \le y\) ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, on doit avoir \(x \ne y\). On en déduit que \(y \strictinferieur x\).
Réciproquement, si la condition \(y \strictinferieur x\) n'est pas vérifiée, on a soit \(x = y\), soit \(x \le y\). Mais comme \(x \le y\) inclut la possibilité que \(x = y\), on a simplement \(x \le y\).
On a donc soit \(x \le y\), soit \(x \strictsuperieur y\). Ou encore, soit \(x \strictinferieur y\), soit \(x = y\), soit \(x \strictsuperieur y\).