Eclats de vers : Matemat : Ordres
Table des matières
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\label{chap:ordres}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
2. Ordre large
Un ordre, ou ordre large, est une relation permettant de déterminer si un élément d'un ensemble est « plus petit ou égal » qu'un autre (on dit aussi « inférieur » à un autre).
Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\). Choisissons \(x,y,z \in \Omega\). Comme tout élément \(x\) est égal à lui-même, il est forcément « plus petit ou égal » à lui-même, et notre ordre doit respecter la propriété :
\[x \le x\]
Par ailleurs, si \(x\) est plus petit ou égal à \(y\) et que l'inverse est vrai aussi, on doit avoir l'égalité entre les deux éléments :
\[x \le y, \quad y \le x \quad \Rightarrow \quad x = y\]
Il est également clair que si \(x\) est plus petit que \(y\) et que si \(y\) est plus petit que \(z\), \(x\) doit être plus petit que \(z\). Donc :
\[x \le y, \quad y \le z \quad \Rightarrow \quad x \le z\]
2.1. Multiple
La notation \(x \le y \le z\) signifie que \(x \le y\) et que \(y \le z\).
3. Plus grand ou égal
Soit \(x,y \in \Omega\). On dit que \(x\) est « plus grand ou égal », ou « supérieur » à \(y\), et on le note :
\[x \ge y\]
si et seulement si :
\[y \le x\]
4. Relation associée
On peut associer une relation \(R\) à tout ordre en posant :
\[R = \{ (x,y) \in \Omega^2 : x \le y \}\]
On a alors \(x \le y\) si et seulement si \((x,y) \in R\).
5. Ordonné
Soit un ensemble \(\Omega\) muni d'un ordre \(\le\). On dit alors que \(\Omega\) est un ensemble ordonné ou que le couple \((\Omega,\le)\) est un espace ordonné.
6. Ordre total et partiel
Un ordre \(\le\) sur \(\Omega\) est dit total si pour tout \(x,y \in \Omega\), on a \(x \le y\) ou \(y \le x\). Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.
7. Ordre sur un produit cartésien
Soit la collection d'ensembles ordonnés \(A_1,A_2,...,A_n\) et les éléments \(x_i,y_i \in A_i\). On définit un ordre partiel sur les $n$-tuples :
\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \)
\( y = (y_1,y_2,...,y_n) \)
en disant que :
\[x \le y\]
si et seulement si :
\[x_i \le y_i\]
pour tout \(i \in \{ 1,2,...,n \}\).