Eclats de vers : Matemat : Polynômes
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:polynomes}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
- Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes
- Chapitre \ref{chap:produit} : Les produits
2. Définition
Soit un corps \(\corps\). On dit qu'une fonction \(p : \corps \mapsto \corps\) est un polynôme de degré \(n\) si on peut trouver des éléments \(a_0,a_1,...a_n \in \corps\) tels que :
\[p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i\]
pour tout \(x \in \corps\). On note \(\polynome(\corps,n)\) l'espace des polynômes de degré \(n\) définis sur \(\corps\).
Un cas particulier important est celui des polynômes réels :
\[\mathcal{P}_n = \polynome(\setR,n)\]
3. Équivalence avec \(\setR^{n+1}\)
Tout $n$-tuple \((a_0,a_1,a_2,...,a_n)\in\setR^{n+1}\) peut être associé à un polynôme :
\[p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i \in \polynome(\setR,n)\]
et vice versa. On a donc l’équivalence :
\[\polynome(\setR,n) \equiv \setR^{n+1}\]
4. Monôme
Un monôme \(\mu_i : \corps \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :
\[\mu_i(x) = x^i\]
pour tout \(x \in \corps\).
5. Racines
On dit que \(r\) est une racine du polynôme \(p\) si :
\[p(r) = 0\]
Nous allons montrer que tout polynôme de degré \(n\) non nul admet au plus \(n\) racines distinctes.
Ce qui revient à dire que si un polynôme de degré \(n\) admet \(m+1\) racines distinctes avec \(m \ge n\), alors ce polynôme est forcément nul.
Soit \(n = 0\). Considérons un polynôme \(p_0\) défini par \(p_0(x) = a_0\) pour un certain \(a_0 \in \corps\). Comme \(n + 1 = 1\), on peut trouver au moins un \(x \in \corps\) tel que \(p_0(x_0) = a_0 = 0\). On en conclut que \(a_0 = 0\) et que \(p_0(x) = 0\) pour tout \(x \in \corps\), ce qui revient à dire que \(p_0 = 0\). La thèse est donc vérifiée pour \(n = 0\).
A présent, supposons que l'affirmation soit vraie pour \(n - 1\). Choisissons un polynôme \(p_n\) de degré \(n\) :
\[p_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i\]
Supposons que \(p\) possède \(m+1\) racines
\[p_n(x_0) = p_n(x_1) = ... = p_n(x_m) = 0\]
avec \(m \ge n\) et :
\[x_0 \strictinferieur x_1 \strictinferieur ... \strictinferieur x_m\]
On a alors :
\[p_n(x) = p_n(x) - p_n(x_0) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot (x^i - x_0^i)\]
Mais les propriétés de factorisation des progressions géométriques (voir la section \ref{sec:factorisation_progression_geometrique}) nous permettent d'affirmer que :
\[x^i - x_0^i = (x - x_0) \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 -j}\]
on en déduit que :
\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x)\]
où le polynôme \(q_{n - 1}\) est défini par :
\[q_{n - 1}(x) = \sum_{i = 1}^n a_i \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 - j}\]
Cette expression ne faisant intervenir que les puissances \(1,x,...,x^{n-1}\), on voit que \(q_{n-1} \in \mathcal{P}_n\) est de degré \(n-1\). Considérons les cas des racines \(x = x_1, x_2, ...,x_m\) de \(p_n\). On a :
\[0 = p_n(x_k) = (x_k - x_0) \cdot q_{n-1}(x_k)\]
Comme \(x_k - x_0 \ne 0\), on peut multiplier par \((x_k - x_0)^{-1}\) pour obtenir :
\[q_{n-1}(x_k) = \frac{p_{n-1}(x_k)}{x_k - x_0} = 0\]
Le polynôme \(q_{n-1}\) possède par conséquent au moins \(m-1 \ge n-1\) racines distinctes. Il est dès lors nul par l'hypothèse de récurrence. La factorisation de \(p_n\) devient alors :
\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x) = 0\]
pour tout \(x \in \corps\). Le polynôme \(p_n\) est également nul et la thèse est démontrée.
5.1. Egalité
Si deux polynômes \(p_1,p_2 \in \mathcal{P}_n\) sont égaux en \(m + 1 \ge n + 1\) points distincts, alors le polynôme de degré \(n\) :
\[h = p_1 - p_2\]
admet \(m+1\) racines. Il est donc nul et \(p_1 = p_2\).
6. Factorisation
Choisissons un polynôme \(p\in\mathcal{P}_n\) qui admet \(n\) racines distinctes \(x_1,x_2,...,x_n\). Soit alors \(x_0 \notin \{x_1,...,x_n\}\) et :
\[A = \frac{p(x_0)}{\prod_{i = 1}^n (x_0 - x_i)}\]
On voit que le polynôme :
\[q(x) = A \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]
est égal à \(p\) en chacune des racines :
\[p(x_i) = q(x_i) = 0 \qquad i = 1,2,...,n\]
Mais par la définition de \(A\), on a aussi :
\[p(x_0) = q(x_0)\]
Les deux polynômes sont donc égaux en \(n+1\) points distincts. Comme ils sont tous deux de degré \(n\), on en déduit que \(p = q\). Les coefficients doivent donc tous être égaux, et comme :
\( p(x) = a_n \cdot x^n + \sum_{i = 0}^{n - 1} a_i \cdot x^i \)
\( q(x) = A \cdot x^n + \sum_{i = 0}^{n - 1} b_i(x_1,...,x_n) \cdot x^i \)
on a \(A = a_n\) et :
\[p(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]
7. Binômes canoniques
Le binôme canonique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(b_n : \corps \to \corps\) définie par :
\[b_n(x) = (1 + x)^n\]
pour tout \(x \in \corps\). On a par exemple :
\begin{align} b_0(x) &= (1 + x)^0 = 1 \\ b_1(x) &= (1 + x)^1 = 1 + x \\ b_2(x) &= (1 + x)^2 = (1 + x) \cdot (1 + x) = 1 + 2 \ x + x^2 \end{align}On voit donc que le binôme canonique de degré \(n\) peut s'écrire comme :
\[b_n(x) = (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n a_{nk} \cdot x^k\]
pour certains coefficients \(a_{nk} \in \corps\). On nomme ces coefficients les « nombres binômiaux », et on les note :
\[\binome{n}{k} = a_{nk}\]
L'expression de \(b_0\) nous donne :
\[\binome{0}{0} = 1\]
On peut évaluer récursivement les nombres binômiaux d'ordres plus élevés en utilisant la définition de la puissance :
\[b_n(x) = (1 + x) \cdot b_{n-1}(x)\]
Il vient alors :
\begin{align} \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k &= (1 + x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^{k + 1} \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{i = 1}^n \binome{n - 1}{i - 1} \cdot x^i \) \end{align}et finalement :
En égalisant les coefficients des \(x^0 = 1\), nous avons :
\[\binome{n}{0} = \binome{n - 1}{0}\]
On en déduit par récurrence que :
\[\binome{n}{0} = 1\]
En égalisant les coefficients des \(x^n\), nous avons :
\[\binome{n}{n} = \binome{n - 1}{n - 1}\]
On en déduit par récurrence que :
\[\binome{n}{n} = 1\]
En égalisant les coefficients de \(x^k\) pour \(k \in \{1,...,n-1\}\), il vient :
\[\binome{n}{k} = \binome{n - 1}{k} + \binome{n - 1}{k - 1}\]
Il est donc facile d'évaluer les coefficients de \(b_n\) à partir des coefficients de \(b_{n - 1}\).
8. Binômes génériques
Le binôme générique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(B_n : \corps \times \corps \mapsto \corps\) définie par :
\[B_n(x,y) = (x + y)^n\]
pour tout \((x,y) \in \corps^2\). Nous avons la forme équivalente :
\[B_n(x,y) = y^n \cdot \left( 1 + \frac{x}{y} \right)^n = y^n \cdot b_n\left( \frac{x}{y} \right)\]
c'est-à-dire :
\[B_n(x,y) = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]
9. Second degré
Le binôme du second degré est couramment utilisé :
\[(x + y)^2 = x \ (x + y) + y \ (x + y) = x^2 + 2 \ x \ y + y^2\]
10. Symétrie
Par commutativité de l'addition, on a \(B_n(x,y) = B_n(y,x)\) et :
\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} \cdot y^i \cdot x^{n - i}\]
Procédant au changement d'indice \(n - i = k\), il vient :
\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{n - k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]
On en déduit en égalisant les coefficients de \(x^k\) que :
\[\binome{n}{k} = \binome{n}{n - k}\]
11. Cas particuliers
En considérant le cas particuliers \(x = y = 1\), on constate que :
\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} = (1 + 1)^n = 2^n\]
Pour \(x = -1\), \(y = 1\), on a :
\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot (-1)^k = (-1 + 1)^n = 0^n = 0\]
Lorsque \(y = 1 - x\) on arrive à :
\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot (1-x)^{n-k} = (x + 1 - x)^n = 1^n = 1\]
12. Bernstein
Soit \(i,n \in \setN\) avec \(i \le n\). Les polynômes de Bernstein \(B_i^n\) sont définis par :
\[B_i^n(t) = \binome{n}{i} \cdot t^i \cdot (1 - t)^{n-i}\]
pour tout \(t \in [0,1]\).
Considérons l'espace fonctionnel \(\mathcal{F} = \fonction([0,1],\corps)\). L'opérateur de Bernstein \(\mathcal{B}_n : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}\) est défini par :
\[\mathcal{B}_n(f)(t) = \sum_{i = 0}^n f(i / n) \cdot B_i^n(t)\]
pour tout \(f \in \mathcal{F}\) et pour tout \(t \in [0,1]\).
Soit la fonction constante \(c \in \mathcal{F}\) associée à un certain \(c \in \corps\) et définie par :
\[c(t) = c\]
pour tout \(t \in [0,1]\).
L'opérateur de Bernstein possède l'importante propriété de conserver ces fonctions constantes :
\[\mathcal{B}_n(c)(t) = \sum_{i = 0}^n c \cdot B_i^n(t) = c \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} t^i \cdot (1 - t)^{n-i} = c\]
quelle que soit la valeur de \(t \in [0,1]\).
13. Division Euclidienne
Soit deux polynomes \(a \in \mathcal{P}_n\) et \(b \in \mathcal{P}_m\) avec \(m \le n\) et :
\( a(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i \)
\( b(x) = \sum_{i = 0}^m b_i \cdot x^i \)
On dit que \(q\) et \(r\) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(a\) et \(b\), et on note :
\[(q,r) = \division(a,b)\]
si :
\( a(x) = b(x) \cdot q(x) + r(x) \)
\( q(x) = \sum_{i=0}^{n-m} q_i x^i \)
\( r(x) = \sum_{i=0}^{p} r_i x^i \)
avec \(p \strictinferieur m \le n\).