Eclats de vers : Matemat : Quadrilatères
Table des matières
1. Introduction
1.1. Définition
Un quadrilatère est une figure géométrique délimitée par quatre segments reliant quatre points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du quadrilatère, tandis que chaque segment est appelé côté du quadrilatère.
Le schéma ci-dessus représente un exemple de quadrilatère de sommets \(A\), \(B\) et \(C\) délimité par les côtés :
\[ a = [A,B] \]
\[ b = [B,C] \]
\[ c = [C,D] \]
\[ d = [D,A] \]
On définit généralement un quadrilatère par la liste de ces sommets. Le quadrilatère du schéma ci-dessus est appelé quadrilatère \(ABCD\).
1.2. Diagonales
Une diagonale d’un quadrilatère \(\mathcal{Q}\) est un segment obtenu en reliant deux sommets non adjacents de \(\mathcal{Q}\).
Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([A,C]\) et \([B,D]\) sont les diagonales du quadrilatère \(ABCD\) :
2. Somme des angles d’un quadrilatère
Un quadrilatère peut toujours se subdiviser en deux triangles : il suffit de tracer une de ses deux diagonales, comme sur le schéma ci-dessous :
On remarque que la somme des angles des deux triangles est égal à la somme des angles du quadrilatère. Comme la somme des angles de chaque triangle vaut \(180^\circ\), la somme des angles du quadrilatère vaut :
\[ 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \]
La somme des angles d’un quadrilatère vaut donc 360°, c’est-à-dire un angle plein.
3. Trapèze
3.1. Définition
Un trapèze est un quadrilatère qui possède au moins une paire de côtés opposés parallèles.
Le schéma ci-dessous représente un trapèze \(ABCD\), où les côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) sont parallèles :
4. Parallélogramme
4.1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède deux paires de côtés opposés parallèles.
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) :
On a :
\[ [ A,B ] \parallel [ D,C ] \]
\[ [ A,D ] \parallel [ B,C ] \]
4.2. Côtés
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et sa diagonale \([A,C]\) qui le divise en deux triangles :
Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), les angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux :
\[ \alpha = \beta \]
Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), les angles alternes-internes \(\gamma\) et \(\delta\) sont égaux :
\[ \gamma = \delta \]
Les triangles \(ABC\) et \(ACD\) ont donc deux angles de mêmes amplitudes autour d’un côté commun \([A,C]\) qui est forcément de même longueur. Ces triangles sont donc isométriques. On en déduit que leurs côtés correspondants sont de mêmes longueurs :
\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]
\[ \abs{AD} = \abs{BC} \]
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont donc de même longueur :
4.3. Angles
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et ses angles :
Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), on doit avoir :
\[ \alpha + \delta = 180^\circ \]
\[ \beta + \gamma = 180^\circ \]
Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), on doit avoir :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]
On en déduit que :
\[ \delta = \beta = 180^\circ - \alpha \]
Le dernier angle vaut :
\[ \gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) \]
c’est-à-dire :
\[ \gamma = \alpha \]
Un parallélogramme possède donc deux angles distincts supplémentaires, comme représenté dans le schéma ci-dessous :
4.4. Diagonales
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et ses diagonales :
Nous avons tenu compte dans la notation des angles du parallélisme des côtés opposés, qui implique une égalité des angles alternes-internes.
Les triangles \(ABI\) et \(DIC\) ont deux angles de mêmes amplitudes (\(\alpha\) et \(\beta\)) autour des côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) qui ont une longueur identique. Ce sont donc des triangles isométriques. On a en particulier :
\[ \abs{AI} = \abs{IC} \]
Le point d’intersection \(I\) est donc situé au milieu de la diagonale \([A,C]\). On a aussi :
\[ \abs{BI} = \abs{ID} \]
Le point \(I\) est donc aussi situé au milieu de la diagonale \([B,D]\).
Notre schéma devient donc :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
4.5. Conditions suffisantes
4.5.1. Longueur et angle identiques
Le schéma ci-dessous représente un quadrilatère \(ABCD\) :
Ce quadrilatère remplit les conditions suivantes :
- les côtés \([A,D]\) et \([B,C]\) sont de longueur égale
- les côtés \([A,D]\) et \([B,C]\) forment un angle d’amplitude égale avec la droite \(d\) qui contient le côté \([A,B]\)
Comme \(\alpha\) et \(\beta\) forment un angle plat, on a :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
La somme des amplitudes des angles \(\angleflex{BAD}\) et \(\angleflex{CBA}\) vaut donc aussi 180°. On peut donc appliquer la réciproque du cinquième axiome d’Euclide, ce qui nous montre que les côtés \([A,D]\) et \([B,C]\) sont parallèles.
Traçons la diagonale \([B,D]\) et examinons les angles qu’elle forme avec ces côtés :
Le parallélisme de \([A,D]\) et \([B,C]\) implique que les angles alternes-internes \(\gamma\) et \(\delta\) sont identiques :
\[ \gamma = \delta \]
Les triangles \(ABD\) et \(DBC\) possédent un angle de même amplitude (\(\gamma\) et \(\delta\)) entourés par deux côtés de longueurs égales :
- le côté commun \([B,D]\)
- les côtés \([A,D]\) et \([B,C]\)
Ces triangles sont donc isométriques. On a donc en particulier :
\[ \lambda = \mu \]
On en déduit que :
\[ \gamma + \mu = \delta + \lambda = 180^\circ - \alpha \]
Notre schéma devient donc :
Comme la somme des amplitudes des angles \(\angleflex{BAD}\) et \(\angleflex{ADC}\) vaut 180°, les côtés \([A,B]\) et \([D,C]\) sont également parallèles.
Le quadrilatère \(ABCD\) est donc un parallélogramme.
5. Rectangle
5.1. Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :
5.2. Parallélisme
Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :
Comme \([A,B]\) et \([D,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,C]\), ils sont parallèles entre-eux :
\[ [A,B] \parallel [D,C] \]
Comme \([A,D]\) et \([B,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,B]\), ils sont parallèles entre-eux :
\[ [A,D] \parallel [B,C] \]
Les côtés opposés d’un rectangle sont donc parallèles entre-eux. On en déduit qu’un rectangle est un cas particulier de parallélogramme.
5.3. Côtés
Le rectangle étant un cas particulier de parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur, comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
5.4. Conditions suffisantes
5.4.1. Parallélogramme qui possède un angle droit
Soit un parallélogramme \(\mathcal{P}\) qui possède au moins un angle droit. On sait que \(\mathcal{P}\) possède deux angles distincts supplémentaires, appelons-les \(\alpha\) et \(\beta\). On peut supposer sans perte de généralité que l’angle droit est \(\alpha\). On a :
\[ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Les quatre angles du parallélogramme, à savoir deux angles \(\alpha\) et deux angles \(\beta\), sont donc tous des angles droits.
On en déduit que \(\mathcal{P}\) est aussi un rectangle.
5.4.2. Longueur et angle identiques
Il s’agit d’un cas particulier de la configuration que nous avons vu dans la section où deux côtés de longueurs égales formant un angle identique avec un troisième côté suffisent à garantir qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Nous avons ici le cas particulier où les deux angles en question sont des angles droits, comme le quadrilatère \(ABCD\) sur le schéma ci-dessous :
Ces conditions suffisent donc à garantir que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
6. Cerf-volant
Un cerf-volant est un quadrilatère formé par deux paires de côtés adjacents de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un cerf-volant \(ABCD\) :
7. Losange
Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un losange \(ABCD\) :
8. Carré
Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un carré \(ABCD\) :
C’est donc aussi :
- un rectangle qui possède quatre côtés de même longueur
- un losange qui possède quatre angles droits