Eclats de vers : Matemat : Relations
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:relations}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
- Chapitre \ref{chap:produitCartesien} : Produit cartésien
2. Définition
Une relation \(R\) est un ensemble de couples \((x,y) \in A \times B\) reliant des éléments de \(A\) à des élements de \(B\). On note \(\relation(A,B)\) l'ensemble des relations sur \(A,B\) :
\[\relation(A,B) = \{ R : R \subseteq A \times B \}\]
On dit que \(x \in A\) est en relation \(R\) avec \(y \in B\) si \((x,y) \in R\). On le note aussi :
\[x \ R \ y\]
3. Relation inverse
A toute relation \(R\), on associe une relation inverse \(R^{-1}\) en intervertissant \(x\) et \(y\) :
\[R^{-1} = \{ (y,x) \in B \times A : (x,y) \in R \}\]
4. Relation identité
La relation identité \(\identite \subseteq X \times X\) est définie par :
\[\identite = \{ (x,x) : x \in X \}\]
Elle vérifie la propriété :
\[\identite^{-1} = \identite\]
4.1. Egalité
Si \(x = y\), on a \((x,y) \in \identite\) et inversément. L'égalité correspond donc à la relation identité.
5. Image
L'image de \(x \in A\) par \(R\) est l'ensemble des éléments de \(B\) en relation avec \(x\) :
\[R(x) = \{ y \in B : (x,y) \in R \}\]
On généralise la notion d'image aux sous-ensembles \(X \subseteq A\) :
\[R(X) = \{ y \in B : x \in X, \ (x,y) \in R \}\]
6. Image inverse
L'image inverse de \(y \in B\) est l'ensemble des éléments de \(A\) en relation avec \(y\) :
\[R^{-1}(y) = \{ x \in A : (x,y) \in R \}\]
On généralise la notion d'image inverse aux sous-ensembles \(Y \subseteq B\) :
\[R^{-1}(Y) = \{ x \in A : y \in Y, \ (x,y) \in R \}\]
7. Image
Lorsqu'on ne précise pas l'ensemble, l'image de \(R\) est simplement l'image de \(A\) :
\[\image R = R(A)\]
8. Domaine
Le domaine de \(R\) est un cas particulier d'image inverse :
\[\domaine R = R^{-1}(B) = \{ x \in A : y \in B, \ (x,y) \in R \}\]
9. Composée
A partir d'une relation \(R\) reliant \(A\) à \(B\) et d'une relation \(S\) reliant \(B\) à \(C\), on peut construire une relation composée \(S \circ R\) (lire \(S\) après \(R\)) reliant \(A\) a \(C\). Pour que le couple \((x,z)\) appartienne à \(S \circ R\), on doit pouvoir trouver un élément intermédiaire \(y \in B\) tel que \((x,y) \in R\) et \((y,z)\in S\). Ce \(y\) doit donc appartenir simultanément à \(R(x)\) et à \(S^{-1}(z)\). On a par conséquent :
\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : R(x) \cap S^{-1}(z) \ne \emptyset \}\]
ou encore :
\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : \exists y \in B : (x,y) \in R, \ (y,z) \in S \}\]
10. Puissance
Soit une relation \(R \in \relation(A,A)\). On définit la puissance par :
\[ R^0 = \identite \]
\[ R^n = R \circ R^{n-1} \]
On a donc en particulier \(R^1 = R\) et :
\[R^n = R \circ ... \circ R\]