Eclats de vers : Matemat : Sommes abstraites

• Chapitre \ref{chap:algebre} : Algèbre

Soit le corps commutatif \(\corps\), un ensemble \(\Omega\) et la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\). On note la somme de \(f\) sur \(X\) par :

\[\sum_{x \in X} f(x)\]

pour tout sous-ensemble \(X \subseteq \Omega\). Il s'agit intuitivement de la somme des \(f(x) \in \corps\) lorsque \(x\) parcourt \(X\). Nous allons voir comment la formaliser.

Si deux ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) ne se chevauchent pas :

\[X \cap Y = \emptyset\]

la somme sur l'union des deux est intuitivement l'addition des sommes sur chacun d'entre-eux :

\[\sum_{z \in X \cup Y} f(z) = \sum_{z \in X} f(z) + \sum_{z \in Y} f(z)\]

Comme \(X = X \cup \emptyset\) et \(X \cap \emptyset = \emptyset\), on en déduit que :

\[\sum_{x \in X} f(x) = \sum_{x \in X \cup \emptyset} f(x) = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in \emptyset} f(x)\]

La somme sur l'ensemble vide doit donc être le neutre pour l'addition :

\[\sum_{x \in \emptyset} f(x) = 0\]

Il semble également logique d'imposer que la somme sur un ensemble contenant un seul élément \(a \in X\) soit égal à \(f(a)\) :

\[\sum_{ x \in \{ a \} } f(x) = f(a)\]

Voilà qui complète les caractéristiques génériques des sommes.

Pour tout \(A \subseteq \corps\), on note :

\[\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in A} \identite(x)\]

la somme des éléments de \(A\).

Soit l'ensemble \(X\) non vide, ensemble dont nous voulons évaluer la somme. Choisissons un élément \(a \in A\) et considérons la décomposition :

\[X = \{ a \} \cup ( X \setminus \{ a \} )\]

Comme l'intersection des deux ensembles du membre de droite est vide :

\[\{ a \} \cap ( X \setminus \{ a \} ) = \emptyset\]

on peut écrire :

\[\sum_{x \in X} f(x) = \sum_{ x \in \{ a \} } f(x) + \sum_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{x \in X} f(x) = f(a) + \sum_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

On en déduit un algorithme itératif permettant d'estimer la somme :

\[S \approx \sum_{x \in X} f(x)\]

Nous partons de :

A chaque étape \(k \in \setN\), nous choisissons \(a_k \in X_k\) et nous adaptons notre estimation par :

\[S_{k + 1} = f(a_k) + S_k\]

On retire ensuite \(a_k\) de \(X_k\) pour éviter de le compter plus d'une fois, ce qui nous donne l'ensemble suivant :

\[X_{k + 1} = X_k \setminus \{ a_k \}\]

Cet algorithme va nous permettre de formaliser la définition des sommes.

Soit l'ensemble \(X\) contenant un nombre fini \(N \in \setN\) d'éléments :

\[X = \{ a_1, a_2, ..., a_N \}\]

En appliquant l'algorithme d'évaluation d'une somme, on finit par arriver à l'itération \(N\) avec :

\[X_N = \emptyset\]

On a simplement :

\[\sum_{x \in X} f(x) = S_N + \sum_{x \in \emptyset} f(x) = S_N + 0 = S_N\]

Comme :

\[S_N = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

on a simplement :

\[\sum_{x \in X} f(x) = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

On note :

\[\sum_{k = 1}^N f(a_k) = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

Soit les fonctions \(f,g : \Omega \mapsto \corps\) et l'ensemble fini \(X \subseteq \Omega\). On a clairement :

\[\sum_{x \in X} \Big[ f(x) + g(x) \Big] = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in X} g(x)\]

Comme le produit se distribue sur l'addition, on a également :

\[\sum_{x \in X} \Big[ c \cdot f(x)\Big] = c \cdot \sum_{x \in X} f(x)\]

pour tout \(c \in \corps\). La somme sur un ensemble fini est linéaire.

Si les ensembles finis \(X\) et \(Y\) vérifient \(X \cap Y = \emptyset\), la commutativité et l'associativité de l'addition nous donnent la propriété d'additivité :

\[\sum_{x \in X \cup Y} f(x) = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in Y} f(x)\]

Soit les ensembles \(\Omega\) et \(\Lambda\) comportant un nombre fini d'éléments, la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\) et la collection d'ensembles :

\[\Theta = \{ X(\lambda) \subseteq \Omega : \lambda \in \Lambda \}\]

où \(X : \Lambda \mapsto \sousens(\Omega)\). On définit la fonction \(S : \Lambda \mapsto \corps\) représentant les sommes associées par :

\[S(\lambda) = \sum_{x \in X(\lambda)} f(x)\]

On suppose que \(\Theta\) forme une partition de \(\Omega\). On a alors :

\[X(\lambda) \cap X(\mu) = \emptyset\]

pour tout \(\lambda,\mu \in \Lambda\) tels que \(\lambda \ne \mu\) et :

\[\Omega = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X(\lambda)\]

Alors, l'associativité et la commutativité de l'addition nous permettent de regrouper les termes de \(\Omega\) par sous-ensembles \(X(\lambda)\), et on a :

\[\sum_{x \in \Omega} f(x) = \sum_{\lambda \in \Lambda} S(\lambda) = \sum_{\lambda \in \Lambda} \left[ \sum_{x \in X(\lambda)} f(x) \right]\]

Soit les sous-ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) comportant un nombre fini d'éléments et la fonction \(f : X \times Y \mapsto \corps\). On définit la fonction \(A : X \mapsto \sousens(X \times Y)\) par :

\[A(x) = \{ (x,y) : y \in Y \}\]

pour tout \(x \in X\). Les sommes associées s'écrivent :

\[S(x) = \sum_{(\lambda,y) \in A(x)} f(\lambda,y)\]

Comme les éléments de \(A(x)\) sont de la forme \((x,y)\), on a forcément \(\lambda = x\). Par conséquent, parcourir \(A(x)\) revient à parcourir les \(y \in Y\) en gardant \(\lambda = x\) fixé et on a :

\[S(x) = \sum_{y \in Y} f(x,y)\]

On se rend compte que les ensembles de cette collection ne se chevauchent pas :

\[A(\lambda) \cap A(\mu) = \emptyset\]

pour tout \(\lambda, \mu \in X\) tels que \(\lambda \ne \mu\). On a aussi :

\[X \times Y = \bigcup_{\lambda \in X} A(\lambda)\]

Nous pouvons par conséquent utiliser l'additivité généralisée, ce qui nous donne :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{x \in X} S(x)\]

soit, en tenant compte de l'expression de \(S(x)\) :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} f(x,y)\]

On montre également que :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} f(x,y)\]

Soit les fonctions \(f,g : \Omega \mapsto \corps\) et les sous-ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) comportant un nombre fini d'éléments. On a :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} f(x) \cdot g(y)\]

Mais comme la valeur de \(f(x)\) ne dépend pas de \(y\), on peut appliquer la distributivité du produit sur l'addition pour faire sortir les valeurs de \(f\) de la somme sur \(y\) et :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \sum_{x \in X} \left[ f(x) \cdot \sum_{y \in Y} g(y) \right]\]

A nouveau, comme la somme de \(g\) sur \(Y\) ne dépend pas de \(x\), on peut la faire sortir et :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \left[ \sum_{y \in Y} g(y) \right] \cdot \left[ \sum_{x \in X} f(x) \right]\]

La multiplication étant commutative, on a également :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \left[ \sum_{x \in X} f(x) \right] \cdot \left[ \sum_{y \in Y} g(y) \right]\]