Eclats de vers : Matemat : Sommes réelles
Table des matières
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\label{chap:sommesReelles}
1. Introduction
Nous nous intéressons à des suites de réels \(A \subseteq \setR\) de la forme :
\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \mathcal{Z} \}\]
1.1. Dénombrable
Supposons que \(\mathcal{Z} \subseteq \setZ\). Si les sommes partielles convergent, on définit :
\[\sum_{k \in \setN} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n a_k\]
dans le cas où \(\mathcal{Z} = \setN\) et :
\[\sum_{k \in \setZ} a_k = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = -n}^n a_k\]
dans le cas où \(\mathcal{Z} = \setZ\). On définit aussi :
\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = m}^n a_k\]
1.2. Quelconque
Pour un ensemble \(\mathcal{Z}\) quelconque, on pose :
\[Z^+ = \{ k \in \mathcal{Z} : a_k \ge 0 \}\]
et :
\[Z^- = \{ k \in \mathcal{Z} : a_k \strictinferieur 0 \}\]
Sous réserve d'existence du suprémum, on définit :
\[\sum_{k \in Z^+} a_k = \sup \accolades{ \sum_{k \in I} a_k : I \subseteq Z^+, \ I \ \mathrm{fini} }\]
ainsi que :
\[\sum_{k \in Z^-} a_k = - \sup \accolades{ - \sum_{k \in I} a_k : I \subseteq Z^-, \ I \ \mathrm{fini} }\]
On définit alors la somme par :
\[\sum_{k \in \mathcal{Z}} a_k = \sum_{k \in Z^+} a_k + \sum_{k \in Z^-} a_k\]
2. Additivité
Soit la suite :
\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]
On définit la suite \(\{ S_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles par :
\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]
pour tout \(n \in \setN\). Choisissons un \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge 1\). On définit la suite \(\{ D_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles commençant en \(m\) par :
\[D_n = \sum_{k = m}^n a_k\]
pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Choisissons un naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\). On a :
\[S_n = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^n a_k = S_{m - 1} + D_n\]
Si on pose :
\[E = S_{m - 1}\]
on a :
\[S_n = E + D_n\]
pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Si la limite de la suite des \(D_n\) existe, celle des \(S_n\) aussi et :
\[\lim_{n \to \infty} S_n = E + \lim_{n \to \infty} D_n\]
Inversément, si la limite des \(S_n\) existe, celle des \(D_n\) aussi et :
\[\lim_{n \to \infty} D_n = \lim_{n \to \infty} S_n - E\]
On a par définition :
\[\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k\]
et :
\[\lim_{n \to \infty} D_n = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]
On en conclut que :
\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]
3. Somme résiduelle
Si la somme des \(a_k\) converge, l'additivité nous dit que :
\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k\]
En passant à la limite \(m \to \infty\), on a :
\begin{align} \lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} a_k &= \lim_{m \to \infty} \left[ \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \right] \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k \\ &= 0 \end{align}La suite des sommes résiduelles \(R_m\) définie par :
\[R_m = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]
pour tout \(m \in \setN\) converge donc vers zéro lorsque \(m\) tend vers l'infini.
4. Termes positifs
Soit la suite positive :
\[P = \{ p_k \in \setR : p_k \ge 0, \ k \in \setN \}\]
et la suite des sommes partielles :
\[S_n = \sum_{k = 0}^n p_k\]
Choisissons \(m,n \in \setN\) tels que \(m \le n\). On a :
\[S_n = \sum_{k = 0}^m p_k + \sum_{k = m + 1}^n p_k = S_m + \sum_{k = m + 1}^n p_k\]
Par positivité, des \(p_k\), on a :
\[\sum_{k = m + 1}^n p_k \ge 0\]
et :
\[S_n \ge S_m\]
La suite des \(S_n\) est croissante. Si on peut trouver un \(M \in \setR\) tel que :
\[S_n \le M\]
pour tout \(n \in \setN\), la suite est majorée et converge vers son suprémum :
\[\sum_{k = 0}^{+\infty} p_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n p_k = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n p_k\]
5. Convergence absolue
Soit la suite :
\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]
La suite dérivée :
\[P = \{ \abs{a_k} \in \setR : k \in \setN \}\]
est positive. Si on peut trouver un \(K \in \setR\) tel que :
\[\sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]
pour tout \(n \in \setN\), la suite des valeurs absolues converge et :
\[\sum_{k = 0}^{+\infty} \abs{a_k} = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n \abs{a_k}\]
La suite des sommes résiduelles associées converge donc vers zéro :
\[\lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} = 0\]
Comme :
\[-\abs{a_k} \le a_k \le \abs{a_k}\]
on a :
\[-K \le - \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le \sum_{k = 0}^n a_k \le \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]
et :
\[-K \le \sum_{k = 0}^n a_k \le K\]
La suite des sommes partielles \(S_n\) définies par :
\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]
est donc majorée et minorée. Elle admet par conséquent des limites suprémum :
\[\sigma = \limsup_{n \to \infty} S_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]
et infimum :
\[\lambda = \liminf_{n \to \infty} S_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]
La suite des \(S_n\) converge-t-elle ? Autrement dit, les limites suprémum et infimum des \(S_n\) sont-elles identiques ? On sait déjà que :
\[\lambda \le \sigma\]
Soit la famille de suprémums décroissants définie par :
\[H_m = \sup\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]
pour tout \(m \in \setN\). On a :
\[\sigma = \inf_{m \in \setN} H_m\]
Soit la famille d'infimums croissants définie par :
\[B_m = \inf\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]
pour tout \(m \in \setN\). On a :
\[\lambda = \sup_{m \in \setN} B_m\]
Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la somme résiduelle converge vers zéro, on peut trouver un naturel \(M\) tel que :
\[\sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout naturel \(m\) vérifiant \(m \ge M\). Choisissons des naturels \(m,n\) tels que \(n \ge m + 1\) et \(m \ge M\). L'additivité finie nous dit que :
\[\sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^m a_k + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]
c'est-à-dire :
\[S_n = S_m + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]
ou :
\[S_n - S_m = \sum_{k = m + 1}^n a_k\]
En prenant la valeur absolue, il vient :
\[\abs{S_n - S_m} = \abs{\sum_{k = m + 1}^n a_k} \le \sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k}\]
Les termes \(\abs{a_k}\) étant positifs, la suite des \(D_i\) définie par :
\[D_i = \sum_{k = m + 1}^i \abs{a_k}\]
pour tout naturel \(i\) vérifiant \(i \ge m + 1\) est croissante, majorée et converge vers son suprémum. On a donc :
\[\sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k} \le \lim_{i \to \infty} D_i = \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]
et :
\[\abs{S_m - S_n} \le \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]
Comme \(m + 1 \strictsuperieur m \ge M\), le terme de droite est majoré par \(\epsilon / 2\) et :
\[\abs{S_m - S_n} \le \frac{\epsilon}{2}\]
Choisissons \(m \ge M\). Pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on a soit \(n = m\) et \(S_n = S_m\), soit \(n \ge m + 1\). On en déduit les inégalités :
\[S_n \le \max \accolades{S_m, S_m + \frac{\epsilon}{2}} = S_m + \frac{\epsilon}{2}\]
et :
\[S_n \ge \min \accolades{S_m, S_m - \frac{\epsilon}{2}} = S_m - \frac{\epsilon}{2}\]
En passant au suprémum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :
\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2}\]
En passant à l'infimum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :
\[B_m \ge S_m - \frac{\epsilon}{2}\]
En combinant ces deux inégalités, on obtient :
\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2} = \parentheses{S_m - \frac{\epsilon}{2}} + \epsilon \le B_m + \epsilon\]
et a fortiori :
\[\inf_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } H_m \le \sup_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } B_m + \epsilon\]
c'est-à-dire :
\[\sigma \le \lambda + \epsilon\]
Cette relation étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :
\[\sigma \le \lambda\]
Comme on a également \(\lambda \le \sigma\), on en conclut que \(\lambda = \sigma\). La somme converge donc et :
\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \limsup_{n \to \infty} S_n = \liminf_{n \to \infty} S_n\]
6. Progression géométrique infinie
Si le réel \(a\) vérifie \(\abs{a} \strictsuperieur 1\), on voit que \(a^{n + 1}\) converge vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. On a alors :
\[\sum_{i=0}^{+\infty} a^i = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} = \frac{1}{1 - a}\]