Eclats de vers : Matemat : Suites
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:suites}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites
2. Définition
Une suite est une fonction \(s : \setN \mapsto \Omega\) définie par :
\[s : n \mapsto s_n = s(n)\]
pour tout \(n \in \setN\). On note \(\suitek(\Omega)\) l'ensemble des suites \(s \subseteq \Omega\).
3. Limite
On dit qu'une suite \(s : n \mapsto s_n \in \Omega\) converge vers \(L \in \Omega\) au sens de la distance \(\distance\), ou que \(L\) est sa limite à l'infini :
\[L = \lim_{n \to \infty} s_n\]
si, pour toute précision \(\epsilon > 0\) aussi petite que l'on veut, on peut trouver un naturel \(K(\epsilon)\) à partir duquel l'erreur sera au moins aussi faible que demandée. On a donc :
\[\distance(L,s_n) \le \epsilon\]
pour tout \(n \ge K(\epsilon)\).
3.1. Notation
Comme la limite d'une suite est toujours sous-entendue vers l'infini, on note :
\[\lim_n s_n = \lim_{n \to \infty} s_n\]
4. Limites extrémales
On définit :
\[\limsup_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sup \{ s_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]
\[\liminf_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \inf \{ s_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]
4.1. Notation
On note aussi :
\[\limsup_n s_n = \limsup_{n \to \infty} s_n\]
\[\liminf_n s_n = \liminf_{n \to \infty} s_n\]
5. Équivalence
Soit les suites :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
et :
\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]
On dit que \(s\) est équivalente à \(t\), et on le note :
\[s \equiv t\]
si et seulement si la limite de la distance entre les deux suites converge vers zéro :
\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = 0\]
Quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un naturel \(K(\epsilon)\) tel que :
\[\distance(s_n,t_n) \le \epsilon\]
pour tout \(n \ge K(\epsilon)\).
5.1. Remarque
L'équivalence entre \(s\) et \(t\) n'implique nullement que la limite de \(s\) ou de \(t\) existe.
5.2. Existence des limites
Suppons que \(s \equiv t\) et que la limite :
\[\sigma = \lim_{n \to \infty} s_n\]
existe. On a :
\[\distance(\sigma,t_n) \le \distance(\sigma,s_n) + \distance(s_n,t_n)\]
Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). En choisissant \(K_1\) tel que :
\[\distance(\sigma,s_n) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \(n \ge K_1\) et \(K_2\) tel que :
\[\distance(s_n,t_n) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \(n \ge K_2\), on voit que :
\[\distance(\sigma,t_n) \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]
Cette relation étant valable quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que la limite des \(t_n\) existe et que :
\[\lim_{n \to \infty} t_n = \sigma = \lim_{n \to \infty} s_n\]
Les limites de suites équivalentes sont identiques.
6. Ordre
Soit les suites :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
et :
\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]
Si un ordre est défini sur \(\Omega\), on dit que \(s\) est inférieure à \(t\) :
\[s \le t\]
si et seulement si les éléments de \(s\) sont inférieurs aux éléments de \(t\) :
\[s_n \le t_n\]
pour tout \(n \in \setN\).
7. Monotonie
7.1. Croissance
On dit qu'une suite :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
est croissante si :
\[s_i \ge s_j\]
pour tout \(i,j \in \setN\) tels que \(i \ge j\).
7.2. Décroissance
On dit qu'une suite :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
est décroissante si :
\[s_i \le s_j\]
pour tout \(i,j \in \setN\) tels que \(i \ge j\).
8. Opérations
Soit les suites :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
et :
\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]
Pour toute opération \(\opera\) définie sur \(\Omega\), on définit l'opération induite \(\opera : \suitek(\Omega) \times \suitek(\Omega) \mapsto \suitek(\Omega)\) par :
\[(s \opera t)(n) = s_n \opera t_n\]
pour tout \(n \in \setN\). On note aussi :
\[(s \opera t)_n = (s \opera t)(n)\]
8.1. Usuelles
Sur les ensembles où sont définies les opérations usuelles, on aura l'addition :
\[(s + t)_n = s_n + t_n\]
la multiplication :
\[(s - t)_n = s_n - t_n\]
la soustraction :
\[(s \cdot t)_n = s_n \cdot t_n\]
la division :
\[\left[ \frac{s}{t} \right]_n = \frac{s_n}{t_n}\]
pour tout \(n \in \setN\).
9. Cauchy
On dit qu'une suite :
\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]
est de Cauchy si, pour toute précision \(\epsilon > 0\) aussi petite que l'on veut, on peut trouver un naturel \(K(\epsilon)\) à partir duquel la distance entre deux éléments de la suite \(s_m, s_n\) sera aussi petite que demandée. On a donc :
\[\distance(s_m,s_n) \le \epsilon\]
pour tout \(m,n \ge K(\epsilon)\).
9.1. Suite convergente
Toute suite convergente vers une limite :
\[L = \lim_{n \to \infty} s_n \in \Omega\]
est de Cauchy. En effet, soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si on choisit \(K\) tel que :
\[\distance(L,s_n) \le \epsilon / 2\]
pour tout \(n \ge K\), on a :
\[\distance(s_m,s_n) \le \distance(s_m,L) + \distance(L,s_n) = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]
pour tout \(m,n \ge K\).
10. Ensemble complet
On dit qu'un ensemble \(X\) est complet si toute suite de Cauchy inclue dans \(X\) converge vers une limite \(L \in X\).
10.1. Complétion
On peut compléter tout ensemble \(A\) incomplet en créant un ensemble \(X\) tel que tout \(x \in X\) soit associé à une suite de Cauchy :
\[s : n \mapsto s_n \in A\]
On note alors symboliquement :
\[x = \lim_{n \to \infty} s_n\]