Eclats de vers : Matemat : Théorème fondamental
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonda}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
- Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales
2. Dérivée de l'intégrale
\label{sec:derivee_integrale}
Soit une fonction \(f \in \continue([\alpha,\beta],\setR)\), un réel \(a \in [\alpha,\beta]\) et la fonction intégrale associée \(I : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) définie par :
\[I(x) = \int_a^x f(s) \ ds\]
pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). On constate que :
\[I(a) = \int_a^a f(s) \ ds = \int_{ \{a\} } f(s) \ ds\]
La mesure de Lebesgue du singleton \(\{a\}\) étant nulle, l'intégrale s'annule et on a :
\[I(a) = 0\]
Nous allons chercher à évaluer la dérivée de la fonction intégrale \(I\) en un point quelconque \(b \in [\alpha,\beta]\).
Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :
\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]
Par additivité, on a :
\[\int_a^{b + h} = \int_a^b + \int_b^{b + h}\]
c'est-à-dire :
\[I(b + h) = I(b) + \int_b^{b + h}\]
pour tout réel \(h\) tel que \(b + h \in [\alpha,\beta]\). Quelle est la valeur de l'intégrale sur \([b, b + h]\) ? Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Par continuité de \(f\), on peut choisir \(\delta > 0\) tel que :
\[\abs{f(b + s) - f(b)} \le \epsilon\]
pour tout \(s\) vérifiant \(\abs{s} \le \delta\). Cela n'est possible que si :
\[f(b) - \epsilon \le f(b + s) \le f(b) + \epsilon\]
On a donc :
\( \sup \Big\{ f(b + s) : \abs{s} \le \delta \Big\} \le f(b) + \epsilon \)
\( \inf \Big\{ f(b + s) : \abs{s} \le \delta \Big\} \ge f(b) - \epsilon \)
Si nous choisissons \(h \in (0,\delta)\), l'intégrale peut donc être majorée et minorée par :
\[\int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) + \epsilon) \cdot h\]
et :
\[\int_b^{b + h} \ge (f(b) - \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) - \epsilon) \cdot h\]
Nous disposons donc des inégalités :
\[(f(b) - \epsilon) \cdot h \le \int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot h\]
Autrement dit :
\[f(b) - \epsilon \le \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]
D'un autre coté, on a :
\[\unsur{h} \int_b^{b + h} f(s) \ ds = \frac{I(b + h) - I(b)}{h}\]
Passons à la limite \(\delta \to 0\). On a alors \(h \to 0\) et :
\[f(b) - \epsilon \le \lim_{h \to 0} \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]
Ces inégalités devant être valables pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a forcément :
\[\lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]
On en conclut que \(I\) est dérivable et que :
\[\OD{I}{x}(b) = \lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]
Autrement dit :
\[\OD{}{x} \int_a^x f(s) \ ds = f(x)\]
3. Intégrale de la dérivée
\label{sec:integrale_derivee}
Soit \(\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le \beta\). Soit la fonction \(F \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\) et sa dérivée continue :
\[f = \partial F = \OD{F}{s}\]
Comme \(F\) est continument différentiable sur \([\alpha,\beta]\), elle y est uniformément différentiable. De même, \(f\) est continue sur \([\alpha,\beta]\). Elle y est donc uniformément continue. Nous allons tenter d'évaluer l'intégrale :
\[\int_a^b f(s) \ ds = \int_a^b \OD{F}{x}(s) \ ds\]
avec \(a,b \in [\alpha,\beta]\) et \(a \le b\).
Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :
\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]
3.1. L'idée
L'idée intuitive est que :
\[\difference F = \sum_i \difference F_i = \sum_i \frac{ \difference F_i }{ \difference x_i } \cdot \difference x_i\]
En passant à la limite \(\difference x_i \to 0\), on soupçonne alors le résultat suivant :
\[\difference F = \int_a^b \OD{F}{x} \ dx\]
3.2. La réalisation
Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(f\) est uniformément continue, nous savons qu'il existe \(\vartheta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\abs{f(x + h) - f(x)} \le \epsilon\]
pour tout \(x,h\) vérifiant \(x,x + h \in [\alpha,\beta]\) et \(\abs{h} \le \vartheta\). On en déduit que :
\( \sup_{\xi \in [x - \vartheta , x + \vartheta]} f(\xi) \le f(x) + \epsilon \)
\( \inf_{\xi \in [x - \vartheta , x + \vartheta]} f(\xi) \ge f(x) - \epsilon \)
On a donc les bornes pour l'intégrale :
\[(f(x) - \epsilon) \cdot h \le \int_x^{x + h} \le (f(x) + \epsilon) \cdot h\]
Comme \(F\) est uniformément différentiable, nous pouvons trouver \(\varpi \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\abs{F(x + h) - F(x) - f(x) \cdot h} \le \epsilon \cdot h\]
pour tout \(x,h\) vérifiant \(x,x + h \in [\alpha,\beta]\) et \(\abs{h} \le \varpi\). On en déduit que :
\( F(x + h) - F(x) - f(x) \cdot h \le \epsilon \cdot h \)
\( f(x) \cdot h - (F(x + h) - F(x)) \le \epsilon \cdot h \)
En considérant ces deux inégalités par rapport au centre \(f(x) \cdot h\), on obtient :
\[F(x + h) - F(x) - \epsilon \cdot h \le f(x) \cdot h \le F(x + h) - F(x) + \epsilon \cdot h\]
En soustrayant ou en ajoutant \(\epsilon \cdot h\) à ces inégalités, on a :
\begin{align} F(x + h) - F(x) - 2 \epsilon \cdot h &\le f(x) \cdot h - \epsilon \cdot h \le& F(x + h) - F(x) \) \( F(x + h) - F(x) &\le f(x) \cdot h + \epsilon \cdot h \le& F(x + h) - F(x) + 2 \epsilon \cdot h \end{align}Si \(\abs{h} \le \min \{ \vartheta , \varpi \}\), nous avons de nouvelles bornes pour l'intégrale :
\[F(x + h) - F(x) - 2 \epsilon \cdot h \le \int_x^{x + h} \le F(x + h) - F(x) + 2 \epsilon \cdot h\]
Choisissons à présent \(n \in \setN\) tel que :
\[\abs{ \frac{b - a}{n} } \le \min \{ \vartheta , \varpi \}\]
Posons \(h = (b - a)/n\) et définissons la série :
\[x_i = a + i \cdot h\]
On a alors \(a = x_0 \le x_1 \le ... \le x_n = b\). Les propriétés des sommes nous disent que :
\[\sum_{i = 1}^n (F(x_i) - F(x_{i - 1})) = F(x_n) - F(x_0) = F(b) - F(a)\]
D'un autre coté, on a clairement :
\[\sum_{i = 1}^n \int_{ x_{i - 1} }^{x_i} = \int_a^b\]
Si nous appliquons les bornes précédentes avec \(x = x_{i - 1}\), nous avons \(x + h = x_i\) et :
\[F(x_i) - F(x_{i - 1}) - 2 \epsilon \cdot h \le \int_{ x_{i - 1} }^{x_i} \le F(x_i) - F(x_{i - 1}) + 2 \epsilon \cdot h\]
En sommant sur \(i = 1,2,...,n\), nous obtenons par conséquent :
\[F(b) - F(a) - 2 \epsilon \cdot h \cdot n \le \int_a^b \le F(b) - F(a) + 2 \epsilon \cdot h \cdot n\]
Mais comme \(h \cdot n = b - a\), cela devient :
\[F(b) - F(a) - 2 \epsilon \cdot (b - a) \le \int_a^b \le F(b) - F(a) + 2 \epsilon \cdot (b - a)\]
Ces bornes devant être satisfaites pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :
\[\int_a^b = F(b) - F(a)\]
On a donc finalement :
\[\int_a^b f(s) \ ds = \int_a^b \OD{F}{s}(s) \ ds = F(b) - F(a)\]
3.3. Primitive
Cette relation permet de calculer l'intégrale d'une fonction continue \(f : t \mapsto f(t)\) lorsqu'on connaît une fonction \(F\) vérifiant :
\[\OD{F}{t} = f\]
On appelle « primitive » de \(f\) une telle fonction \(F\).
3.4. Notation
On note aussi :
\[\difference F = \int dF\]
4. Polynômes
On sait que :
\[\OD{}{t}\big(t^n\big) = n \cdot t^{n - 1}\]
Comme \(n\) est constante, on peut le réécrire :
\[\OD{}{t}\left( \frac{t^n}{n} \right) = t^{n - 1}\]
ou, en posant \(m = n - 1\) :
\[\OD{}{t}\left( \frac{t^{m + 1}}{m + 1} \right) = t^m\]
L'intégrale s'écrit donc :
\[\int_a^b t^m \ dt = \frac{ b^{m + 1} - a^{m + 1} }{m + 1}\]
On a en particulier :
\[\int_0^x t^m \ dt = \frac{ x^{m + 1} }{m + 1}\]
4.1. Exemples
\[\int_0^x t \ dt = \frac{ x^2 }{2}\]
\[\int_0^x t^2 \ dt = \frac{ x^3 }{3}\]
5. Valeur moyenne
5.1. Accroissements finis
Soit des réels distincts \(a,b\) vérifiant \(a \strictinferieur b\), la fonction \(f \in \continue([a,b],\setR)\) et la fonction \(F : [a,b] \mapsto \setR\) définie par :
\[F(x) = \int_a^x f(t) \ dt\]
pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(F \in \continue^1([a,b],\setR)\), le théorème des accroissements finis nous dit qu'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :
\[\partial F(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\]
On sait que :
\[\partial F(c) = f(c)\]
On a aussi :
\[F(b) = \int_a^b f(t) \ dt\]
et :
\[F(a) = \int_a^a f(t) \ dt = \int_{ \{ a \} } f(t) \ dt\]
La mesure de Lebesgue du singleton \(\{a\}\) étant nulle, l'intégrale s'annule et on a :
\[F(a) = 0\]
On a donc \(F(b) - F(a) = F(b)\) et :
\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(t) \ dt\]
5.2. Théorème de Cauchy
Soit des réels distincts \(a,b\) vérifiant \(a \strictinferieur b\), les fonctions \(f,g \in \continue([a,b],\setR)\) et les fonction \(F,G : [a,b] \mapsto \setR\) définies par :
\begin{align} F(x) &= \int_a^x f(t) \ dt \) \( G(x) &= \int_a^x g(t) \ dt \end{align}pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(F,G \in \continue^1([a,b],\setR)\), le théorème de Cauchy nous dit qu'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :
\[\partial F(c) \cdot \big[G(b) - G(a)\big] = \big[F(b) - F(a)\big] \cdot \partial G(c)\]
On sait que :
\( \partial F(c) = f(c) \)
\( \partial G(c) = g(c) \)
On a aussi :
\begin{align} F(b) &= \int_a^b f(t) \ dt \) \( G(b) &= \int_a^b g(t) \ dt \end{align}et :
\begin{align} F(a) &= \int_a^a f(t) \ dt = 0 \) \( G(a) &= \int_a^a g(t) \ dt = 0 \end{align}On en conclut que :
\[f(c) \ \int_a^b g(t) \ dt = g(c) \ \int_a^b f(t) \ dt\]
Si l'intégrale de \(g\) et \(g(c)\) sont non nuls, on peut mettre cette relation sous la forme :
\[\frac{f(c)}{g(c)} = \frac{ \int_a^b f(t) \ dt }{ \int_a^b g(t) \ dt }\]
6. Intégration par parties
Soient \(f,g \in \continue^1(\setR,\setR)\). On se rappelle que :
\[\partial (f \cdot g) = \partial f \cdot g + f \cdot \partial g\]
et comme on a :
\[\int_a^b \partial (f \cdot g) \ dx = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a)\]
on obtient la formule d'intégration par parties :
\[\int_a^b f(x) \cdot \partial g(x) \ dx = (f \cdot g)(b) - (f \cdot g)(a) - \int_a^b \partial f(x) \cdot g(x) \ dx\]
6.1. Stieltjes
Le résultat est également valable lorsqu'on utilise les mesures de Stieltjes associées à \(f\) et \(g\) :
\[\int_a^b f(x) \cdot dg(x) = \difference (f \cdot g) - \int_a^b g(x) \cdot df(x)\]
6.2. Dérivée constante
On considère le cas particulier où \(\partial g = 1\). Une exemple de fonction \(g\) vérifiant cette propriété est simplement \(g = \identite\). On a donc \(g(x) = x\) et :
\[\int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \cdot 1 \ dx = \int_a^b f(x) \cdot \partial g(x) \ dx\]
L'intégration par parties nous donne :
\[\int_a^b f(x) \ dx = f(b) \cdot b - f(a) \cdot a - \int_a^b \partial f(x) \cdot x \ dx\]
7. Changement de variable
Considérons une fonction \(f \in \continue(\setR,\setR)\) et un changement de variable \(x = \varphi(s)\) où \(\varphi \in \homeomorphisme^1(\setR,\setR)\). Soit la mesure de lebesgue \(\mu([\alpha,\beta]) = \beta - \alpha\).
7.1. L'idée
\[\sum_i f_i \cdot \difference x_i = \sum_i f_i \cdot \frac{\difference x_i}{\difference s_i} \cdot \difference s_i\]
On devrait donc avoir par passage à la limite :
\[\int f \ dx = \int f \ \OD{x}{s} \ ds\]
7.2. La réalisation
On applique le même procédé qu'à la section \ref{sec:integrale_derivee}. Si \(x\) est proche de \(y\), on a :
\[\int_x^y \approx f(x) \cdot (y - x)\]
Posant \(s = \varphi^{-1}(x)\) et \(t = \varphi^{-1}(y)\), on a aussi :
\[y - x = \varphi(t) - \varphi(s) = \OD{\varphi}{s}(s) \cdot (t - s) + e(\abs{s - t})\]
où \(e\) converge plus vite que \(s - t\) vers \(0\). On en conclut que :
\[\int_x^y \approx (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s) \cdot (t - s)\]
On remarque que le second membre est une approximation de l'intégrale de la fonction :
\[F(s) = (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s)\]
sur l'intervalle \([s,t] = [\varphi^{-1}(x),\varphi^{-1}(y)]\). Il ne nous reste plus qu'à sommer sur tous les petits intervalles \([x_{i - 1},x_i]\) et à passer à la limite \(h = x_i - x_{i - 1} \to 0\) pour obtenir :
\[\int_a^b f(x) \ dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s) \ ds\]