Eclats de vers : Matemat : Transformations géométriques planes

Une transformation plane \(\mathscr{T}\) dans un plan \(\Theta\) est une fonction \(\mathscr{T} : \Theta \mapsto \Theta\) qui, à chaque point \(P \in \Theta\), associe un point image \(\mathscr{T}(P)\).

Pour tracer l’image d’un segment, il suffit de relier entre-elles les images de chaque extrémité du segment original.

Pour tracer l’image d’un polygone, il suffit de tracer les images des segments (côtés) du polygone original.

Une translation utilise un même vecteur pour faire glisser chaque point du plan d’un point origine vers une destination.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v} = \vecteur{XY}\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v}\) à un point \(A\) :

1. on trace une droite \(d\) parallèle au segment \([X,Y]\) associé à \(\vecteur{v}\)
2. en partant du point \(A\), on trace une copie du vecteur \(\vecteur{v} = \vecteur{AB}\) sur la droite \(d\) en veillant à ce que
   • la longueur \(\abs{AB}\) soit égale à \(\abs{XY}\)
   • le sens de progression \([A \to B]\) soit le même que celui de \([X \to Y]\)
3. le point \(B = \mathcal{T}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vecteur{v}\)

Soit une translation \(\mathcal{T}\) de vecteur \(\vecteur{v}\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{T}\) :

Une rotation fait tourner chaque point du plan d’un même angle autour d’un même centre.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\), appliquée à un point \(A\) :

La convention usuelle du signe des angles s’applique :

• un angle positif fait tourner le point dans le sens anti-horlogique
• un angle négatif fait tourner le point dans le sens horlogique

Pour appliquer une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(OA\)
2. on trace un arc de cercle \(\Gamma\) de centre \(O\)
3. on repère sur \(\Gamma\) le point \(B\) tel que \(\abs{\anglecirc{AOB}} = \alpha\)
4. le point \(B = \mathcal{R}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\)

Soit une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle \(\alpha\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{R}\) :

Une symétrie centrale projette un point quelconque du plan de l’autre côté et à la même distance d’un centre donné.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(OA\)
2. on reporte la distance \(r = \abs{OA}\) de l’autre côté de \(O\) pour obtenir le point \(B\)
   • on a donc \(\abs{OA} = \abs{OB}\)
3. le point \(B = \mathcal{S}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la symétrie centrale de centre \(O\)

Soit une symétrie centrale \(\mathcal{S}\) de centre \(O\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{S}\) :

Une réflexion, ou symétrie orthogonale, projette un point quelconque du plan de l’autre côté d’une droite donnée, appelée axe de la réflexion. La projection se fait perpendiculairement à l’axe, et à la même distance.

Le schéma ci-dessous donne un exemple de réflexion \(\mathcal{R}\) d’axe \(d\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une réflexion d’axe \(d\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(p\), perpendiculaire à \(d\) et qui passe par \(A\)
   • soit \(I\), le point d’intersection entre \(d\) et \(p\)
2. on reporte la distance \(\abs{AI}\) de l’autre côté de \(d\), obtenant ainsi le point \(B\)
   • on a alors \(\abs{AI} = \abs{IB}\)
3. le point \(B = \mathcal{R}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par la réflexion d’axe \(d\)

Soit une réflexion \(\mathcal{R}\) d’axe \(d\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{R}\) :

Une homothétie multiplie la distance du point d’origine par rapport à un centre donné. On appelle rapport de l’homothétie le ratio de distance utilisé.

Le schéma ci-dessous donne un exemple d’homothétie \(\mathcal{H}\) de centre \(O\) et de rapport \(R\) appliquée à un point \(A\) :

Pour appliquer une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(R\) à un point \(A\) :

1. on trace la droite \(d = OA\)
2. on multiplie la distance \(\abs{OA}\) par \(R\) pour obtenir la distance \(D\)
3. on reporte la distance \(D\) sur la droite \(OA\), obtenant ainsi le point \(B\)
   • on a donc : \(\abs{OB} = D = R \ \abs{OA}\)
4. le point \(B = \mathcal{H}(A)\) obtenu est l’image de \(A\) par l’homothétie \(\mathcal{H}\)

Par convention, un rapport de distance négatif envoie le point image de l’autre côté du centre :

Soit une homothétie \(\mathcal{H}\) de centre \(O\) et de rapport \(R\). Le schéma ci-dessous représente un segment \([A,B]\) et son image \([C,D]\) par \(\mathcal{H}\) :