Eclats de vers : Matemat : Triangles isométriques
Table des matières
1. Conditions d’isométrie de deux triangles
1.1. Principe d’équivalence des constructions
Chacune des techniques de construction de triangles que nous avons présenté jusqu’ici produit, soit un unique triangle, soit deux triangles isométriques.
Étant donné une technique de construction \(\mathscr{T}\) et ses données de départ \(\mathscr{D}\), les longueurs et les angles des triangles obtenus sont donc identiques, et ce quel que soit l’endroit et l’orientation des éléments de départ de la construction.
Si deux triangles \(T_1\) et \(T_2\) partagent les mêmes caractéristiques \(\mathscr{D}\), on peut les reconstruire à l’identique au moyen de \(\mathscr{T}\). On en déduit que ces deux triangles sont isométriques :
\[ T_1 \cong T_2 \]
Les longueurs et leurs angles de ces triangles sont donc complètement déterminés par les caractéristiques de \(\mathscr{D}\).
1.2. Triangles quelconques
1.2.1. Trois côtés de même longueur
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les trois côtés sont de mêmes longueurs :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.2.2. Côté - angle - côté
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles ont un angle correspondant de même amplitude compris entre deux côtés correspondants de mêmes longueurs :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.2.3. Angle - côté - angle
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles ont un côté correspondant de même longueur compris entre deux angles correspondants de mêmes amplitudes :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3. Triangles rectangles
1.3.1. Deux cathètes
Soit les deux triangles rectangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles rectangles ont leurs deux cathètes de même longueur :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3.2. Cathète et hypothénuse
Soit les deux triangles rectangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles rectangles ont une cathète et l’hypothénuse de mêmes longueurs :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3.3. Cathéte et angle adjacent
Soit les deux triangles rectangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles rectangles ont une cathète de même longueur adjacente à un angle (non droit) de même amplitude :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3.4. Cathéte et angle non adjacent
Soit les deux triangles rectangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles rectangles ont une cathète de même longueur qui n’est pas adjacente à un angle de même amplitude :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3.5. Hypothénuse et angle
Soit les deux triangles rectangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles rectangles ont leur hypothénuse de même longueur et un angle (non droit) d’amplitude identique :
\[ c_1 = c_2 \]
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
2. Triangle isocèle
2.1. Hauteur
Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la hauteur qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :
Par définition du triangle isocèle, on a :
\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]
On voit que les triangles rectangles \(ADC\) et \(BCD\) ont une cathète \(h\) et leur hypothénuse de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques et :
\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]
La hauteur \(h\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). On a aussi :
\[ \alpha = \beta \]
Les angles adjacents au côté \([A,B]\) sont égaux. L’égalité du dernier angle :
\[ \lambda = \mu \]
signifie que la hauteur \(h\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\).
On a donc finalement le schéma suivant :
En résumé :
- les deux angles adjacents au côté \([A,B]\) sont égaux
- \([A,B]\) est le côté qui reste lorsqu’on retire les côtés de longueur égale du triangle isocèle
- la hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle \(ABC\), et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\)
2.2. Médiane
Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la médiane qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :
Par définition du triangle isocèle, on a :
\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]
Par définition de la médiane, on a :
\[ b = \abs{AD} = \abs{DB} \]
On voit que les triangles \(ADC\) et \(BCD\) ont leurs trois côtés de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques, ce qui signifie que leurs angles sont de mêmes amplitudes. On a en particulier :
\[ \alpha = \beta \]
\[ \gamma = \delta \]
\[ \lambda = \mu \]
Cette dernière relation signifie que la médiane \(m\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\).
Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, il vient :
\[ \gamma + \delta = 2 \ \gamma = 180^\circ \]
d’où :
\[ \gamma = 90^\circ \]
La médiane \(m\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\).
On a donc finalement le schéma suivant :
2.3. Bissectrice
Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle et la bissectrice qui part du sommet adjacent aux côtés de longueurs égales :
Par définition du triangle isocèle, on a :
\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]
On voit que les triangles \(ADC\) et \(BCD\) ont un angle de même amplitude \(\lambda\) situé entre deux côtés de mêmes longueurs :
- la bissectrice \(b\), côté commun
- les côtés \(\abs{AC}\) et \(\abs{BC}\)
Ils sont donc isométriques et :
\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]
La bissectrice \(b\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). On a aussi :
\[ \alpha = \beta \]
\[ \gamma = \delta \]
Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, il vient :
\[ \gamma + \delta = 2 \ \gamma = 180^\circ \]
d’où :
\[ \gamma = 90^\circ \]
La bissectrice \(b\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\). Notre schéma devient :
Conclusion : les trois sections qui précèdent nous montre que la hauteur, la médiatrice et la bissectrice qui partent du sommet situé entre les côtés égaux d’un triangle isocèle se confondent.
2.4. Condition suffisante
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) qui possède deux angles de même amplitude sur deux de ses sommets, et la hauteur \(h\) qui part du troisième sommet \(C\) :
Les triangles rectangles \(ADC\) et \(BCD\) ont une cathète \(h\) commune, et un angle non adjacent d’amplitude égale. Ces deux triangles sont donc isométriques. On a en particulier :
\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]
\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]
\[ \lambda = \mu \]
Notre schéma devient :
On voit que :
- le triangle \(ABC\) est isocèle
- la hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle \(ABC\), et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\)
Un triangle qui a deux angles de même amplitude est donc un triangle isocèle.
3. Triangle équilatéral
3.1. Angles
Le schéma ci-dessous représente un triangle équilatéral \(ABC\) avec ses trois angles :
Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \([A,C]\) et \([B,C]\) :
\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]
les angles associés doivent être égaux :
\[ \alpha = \beta \]
Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \([A,C]\) et \([A,B]\) :
\[ \abs{AC} = \abs{AB} \]
les angles associés doivent être égaux :
\[ \alpha = \gamma \]
Les trois angles sont donc identiques :
\[ \alpha = \beta = \gamma \]
La somme des angles de ce triangle nous donne :
\[ \alpha + \beta + \gamma = 3 \ \alpha = 180^\circ \]
On a donc :
\[ \alpha = \beta = \gamma = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Les angles d’un triangle équilatéral ont tous une amplitude de 60°.
3.2. Condition suffisante
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) qui possède trois angles égaux :
Comme les angles \(\angleflex{A}\) et \(\angleflex{B}\) sont égaux (ils valent tous deux \(\alpha\)), ce triangle est isocèle en \([A,C]\) et \([B,C]\) :
\[ \abs{AC} = \abs{BC} \]
Comme les angles \(\angleflex{A}\) et \(\angleflex{C}\) sont égaux, ce triangle est isocèle en \([A,B]\) et \([C,B]\) :
\[ \abs{AB} = \abs{CB} \]
Les trois côtés sont donc de longueur égale.
Un triangle qui possède trois angles égaux est un triangle équilatéral.
4. Distance entre deux droites parallèles
4.1. Définition
Soit deux droites distinctes parallèles \(a\) et \(b\). Traçons deux autres droites distinctes \(c\) et \(d\), toutes deux perpendiculaires à \(a\) :
Comme \(a\) et \(b\) sont parallèles, \(c\) et \(d\) sont également perpendiculaires à \(b\), comme indiqué dans le schéma.
Nous avons aussi tenu compte dans la notation des angles du parallélisme de \(a\) et \(b\), qui implique une égalité des angles alternes-internes.
Les triangles rectangles \(ACD\) et \(ADB\) ont un angle \(\alpha\) de même amplitude et une hypothénuse \([A,D]\) commune. Ce sont donc des triangles isométriques et :
\[ \abs{AC} = \abs{BD} \]
La longueur d’un segment :
- perpendiculaire à deux droites parallèles
- délimité par les points d’intersections avec ces droites
ne dépend pas du point choisi sur une des droites pour construire ce segment. On peut donc définir la distance entre deux droites comme étant la longueur d’un de ces segments :
\[ \distance(a,b) = \abs{AC} \]
4.2. Corollaire
La distance entre deux droites parallèles est une constante.
4.3. Distance entre deux segments
La distance entre deux segments parallèles \([A,B]\) et \([C,D]\) est tout simplement défini comme étant égal à la distance entre les droites \((AB)\) et \((CD)\) qui les prolongent.